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Para la materia de Homotopía, calcula el ejercicio mostrando paso a paso como se resolovio pero No puedes usar Fórmulas de Cauchy ni Teorema de Residuos, pero puedes usar el metodo de Integración por cambio **de** variable.

Para resolver la integral \(\int_\gamma z \exp(2 \pi i z^2) \, dz\) con \(\gamma: [0, 1] \to \mathbb{C}\) tal que \(\gamma(t) = t^3 + it\) usando el método de integración por cambio de variable, seguimos los siguientes pasos:

1. **Expresión Paramétrica del Contorno**:
   La curva \(\gamma(t)\) está dada por \(\gamma(t) = t^3 + it\), donde \(t\) varía de 0 a 1.

2. **Diferencial \(dz\)**:
   Calculamos \(dz\) en términos de \(dt\):
   \[
   z = \gamma(t) = t^3 + it
   \]
   \[
   \frac{dz}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 + it) = 3t^2 + i
   \]
   \[
   dz = (3t^2 + i) \, dt
   \]

3. **Reescribir la Integral**:
   Sustituimos \(z\) y \(dz\) en la integral original:
   \[
   \int_\gamma z \exp(2\pi i z^2) \, dz = \int_0^1 (t^3 + it) \exp\left(2\pi i (t^3 + it)^2\right) (3t^2 + i) \, dt
   \]

4. **Simplificación del Exponente**:
   Simplificamos el exponente de la exponencial:
   \[
   (t^3 + it)^2 = t^6 + 2it^4 - t^2
   \]
   \[
   2\pi i (t^6 + 2it^4 - t^2) = 2\pi i t^6 + 4\pi i^2 t^4 - 2\pi i t^2 = 2\pi i t^6 - 4\pi t^4 - 2\pi i t^2
   \]
   \[
   = 2\pi i (t^6 - t^2) - 4\pi t^4
   \]

5. **Sustitución y Factorización**:
   Sustituimos y factorizamos:
   \[
   \int_0^1 (t^3 + it) \exp\left(2\pi i (t^6 - t^2) - 4\pi t^4\right) (3t^2 + i) \, dt
   \]
   \[
   = \int_0^1 (t^3 + it)(3t^2 + i) \exp\left(2\pi i (t^6 - t^2) - 4\pi t^4\right) \, dt
   \]

6. **Expandir y Integrar**:
   Expandimos el integrando:
   \[
   (t^3 + it)(3t^2 + i) = 3t^5 + it^3 + 3it^2 + i^2 t = 3t^5 + it^3 + 3it^2 - t
   \]
   Así, la integral se convierte en:
   \[
   \int_0^1 (3t^5 + it^3 + 3it^2 - t) \exp\left(2\pi i (t^6 - t^2) - 4\pi t^4\right) \, dt
   \]

Para resolver esta integral de manera más efectiva, se puede evaluar cada término por separado usando el método de cambio de variable adecuado, pero la expresión puede ser bastante compleja. Sin embargo, hemos transformado la integral en una forma más manejable usando el cambio de variable. Una solución analítica exacta puede requerir técnicas adicionales de integración, pero los pasos hasta aquí permiten un buen avance en la simplificación y preparación para resolver la integral completa.

¿Te gustaría más detalles sobre la evaluación de los términos específicos de la integral?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Qué es una curva paramétrica y cómo se usa en la integración de contornos?
2. ¿Cómo se calcula el diferencial \(dz\) en términos de \(dt\)?
3. ¿Cuáles son las propiedades de la exponencial compleja \(\exp(iz)\)?
4. ¿Qué técnicas se pueden usar para integrar funciones complejas?
5. ¿Cómo se realiza el cambio de variable en integrales complejas?
6. ¿Qué significa la notación \(\gamma: [0, 1] \to \mathbb{C}\)?
7. ¿Cómo se expande y simplifica una función compleja antes de la integración?
8. ¿Cuál es la importancia de los contornos en la teoría de la integración compleja?

### Tip:
Cuando trabajes con integrales de contornos, siempre verifica que el contorno esté bien parametrizado y que los diferenciales estén correctamente expresados antes de proceder con la integración.

Aprende cómo resolver un ejercicio de integración de contorno en la materia de Homotopía usando el método de integración por cambio de variable. Este problema cubre conceptos avanzados de análisis complejo y la integración de curvas paramétricas. Adecuado para estudiantes universitarios y profesionales de matemáticas.

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