.Evalúe la siguiente integral ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 5 1 si 𝑓(𝑥) = { 𝑥 2+1 √𝑥 3+3𝑥 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 ≤ 3 3𝑥 − 1 𝑠𝑖 3 < 𝑥 ≤ 5

La integral que debemos evaluar es una integral definida de una función a tramos. Dada la función \( f(x) \), podemos expresarla como:

\[
f(x) = \begin{cases} 
\frac{x^2 + 1}{\sqrt{x^3 + 3x}} & \text{si } 1 \leq x \leq 3, \\
3x - 1 & \text{si } 3 < x \leq 5.
\end{cases}
\]

Para resolver la integral \( \int_1^5 f(x) \, dx \), descompondremos la integral en dos partes:

\[
\int_1^5 f(x) \, dx = \int_1^3 \frac{x^2 + 1}{\sqrt{x^3 + 3x}} \, dx + \int_3^5 (3x - 1) \, dx.
\]

### Paso 1: Evaluar \( \int_1^3 \frac{x^2 + 1}{\sqrt{x^3 + 3x}} \, dx \)

Para esta parte, podemos hacer un cambio de variable. Observemos que el denominador tiene una forma que sugiere el cambio \( u = x^3 + 3x \), ya que su derivada tiene una relación directa con el numerador.

Sea \( u = x^3 + 3x \), por lo tanto:

\[
du = (3x^2 + 3) \, dx \quad \text{o} \quad du = 3(x^2 + 1) \, dx.
\]

De esta manera, \( \frac{x^2 + 1}{\sqrt{x^3 + 3x}} \, dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{du}{\sqrt{u}} \).

La integral en términos de \( u \) se convierte en:

\[
\int_1^3 \frac{x^2 + 1}{\sqrt{x^3 + 3x}} \, dx = \frac{1}{3} \int_{u(1)}^{u(3)} u^{-\frac{1}{2}} \, du.
\]

Cuando \( x = 1 \), \( u(1) = 1^3 + 3(1) = 4 \).
Cuando \( x = 3 \), \( u(3) = 3^3 + 3(3) = 36 \).

Por lo tanto, tenemos:

\[
\frac{1}{3} \int_4^{36} u^{-\frac{1}{2}} \, du = \frac{1}{3} \cdot 2 \left[ u^{\frac{1}{2}} \right]_4^{36} = \frac{2}{3} \left[ \sqrt{36} - \sqrt{4} \right] = \frac{2}{3} (6 - 2) = \frac{2}{3} \cdot 4 = \frac{8}{3}.
\]

### Paso 2: Evaluar \( \int_3^5 (3x - 1) \, dx \)

Esta es una integral directa:

\[
\int_3^5 (3x - 1) \, dx = \left[ \frac{3x^2}{2} - x \right]_3^5.
\]

Evaluamos en los límites:

\[
\left[ \frac{3(5)^2}{2} - 5 \right] - \left[ \frac{3(3)^2}{2} - 3 \right] = \left[ \frac{75}{2} - 5 \right] - \left[ \frac{27}{2} - 3 \right].
\]

Simplificando:

\[
\left( \frac{75}{2} - \frac{10}{2} \right) - \left( \frac{27}{2} - \frac{6}{2} \right) = \frac{65}{2} - \frac{21}{2} = \frac{44}{2} = 22.
\]

### Paso 3: Sumar los resultados

Ahora sumamos ambas partes:

\[
\int_1^5 f(x) \, dx = \frac{8}{3} + 22 = \frac{8}{3} + \frac{66}{3} = \frac{74}{3}.
\]

Por lo tanto, el valor de la integral es:

\[
\int_1^5 f(x) \, dx = \frac{74}{3}.
\]

¿Te gustaría más detalles o alguna aclaración sobre este cálculo?

---

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Qué es un cambio de variable en una integral?
2. ¿Cómo se aplican los límites en un cambio de variable?
3. ¿Qué propiedades tienen las funciones a tramos en las integrales?
4. ¿Cómo se simplifican fracciones algebraicas en integrales?
5. ¿Cuáles son los pasos para resolver integrales de funciones definidas por partes?

### Tip:
Al usar el cambio de variable en integrales, siempre recuerda ajustar tanto la función como los límites de integración para el nuevo sistema de coordenadas.

Evalúe la siguiente integral ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 5 1 si 𝑓(𝑥) = { 𝑥 2+1 √𝑥 3+3𝑥 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 ≤ 3 3𝑥 − 1 𝑠𝑖 3 < 𝑥 ≤ 5

Aprende a evaluar una integral definida de una función a tramos con límites de integración de 1 a 5. Esta solución incluye el uso del cambio de variable y la evaluación de integrales definidas. Ideal para estudiantes de grados 11-12 o nivel universitario inicial.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation