Para calcular el perímetro y el área de un triángulo con vértices en los puntos $(7,7)$, $(-1,1)$, y $(2,-3)$, primero calculamos las distancias entre cada par de vértices para obtener los lados del triángulo.

1. Calcular las longitudes de los lados:

• Lado $AB$:

$A(7, 7), \quad B(-1, 1)$

$d_{AB} = \sqrt{(7 - (-1))^2 + (7 - 1)^2}$

$d_{AB} = \sqrt{(8)^2 + (6)^2}$

$d_{AB} = \sqrt{64 + 36}$

$d_{AB} = \sqrt{100}$

$d_{AB} = 10$

• Lado $BC$:

$B(-1, 1), \quad C(2, -3)$

$d_{BC} = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-3 - 1)^2}$

$d_{BC} = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2}$

$d_{BC} = \sqrt{9 + 16}$

$d_{BC} = \sqrt{25}$

$d_{BC} = 5$

• Lado $CA$:

$C(2, -3), \quad A(7, 7)$

$d_{CA} = \sqrt{(7 - 2)^2 + (7 - (-3))^2}$

$d_{CA} = \sqrt{(5)^2 + (10)^2}$

$d_{CA} = \sqrt{25 + 100}$

$d_{CA} = \sqrt{125}$

$d_{CA} = 5\sqrt{5}$

2. Calcular el perímetro:

$\text{Perímetro} = d_{AB} + d_{BC} + d_{CA}$

$\text{Perímetro} = 10 + 5 + 5\sqrt{5}$

$\text{Perímetro} \approx 10 + 5 + 11.18 \approx 26.18 \quad (\text{aproximado})$

3. Calcular el área usando la fórmula del área para coordenadas:

$\text{Área} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|$

Donde $A(x_1, y_1) = (7, 7)$, $B(x_2, y_2) = (-1, 1)$, y $C(x_3, y_3) = (2, -3)$:

$\text{Área} = \frac{1}{2} \left| 7(1 - (-3)) + (-1)(-3 - 7) + 2(7 - 1) \right|$

$\text{Área} = \frac{1}{2} \left| 7(4) + (-1)(-10) + 2(6) \right|$

$\text{Área} = \frac{1}{2} \left| 28 + 10 + 12 \right|$

$\text{Área} = \frac{1}{2} \left| 50 \right|$

$\text{Área} = 25$

Por lo tanto, el perímetro del triángulo es aproximadamente 26.18 unidades y el área es 25 unidades cuadradas.

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas que podrías hacer:

1. ¿Cómo se derivan las fórmulas para el área y el perímetro de un triángulo en coordenadas?
2. ¿Qué es el teorema de Pitágoras y cómo se aplica en estos cálculos?
3. ¿Cómo se pueden simplificar las raíces cuadradas en los cálculos?
4. ¿Qué otros métodos existen para calcular el área de un triángulo?
5. ¿Cómo se encuentra el baricentro de un triángulo dado por sus vértices?

Tip: Para asegurar la precisión en cálculos geométricos, revisa siempre las operaciones intermedias, especialmente las sumas y raíces cuadradas.