argumenta por la respuesta por Homotopía y no por método de residuos

Para argumentar que las integrales dadas son iguales utilizando el concepto de homotopía en lugar del método de residuos, utilizamos la homotopía de los contornos de integración en el plano complejo.

### Definición y Teorema de Homotopía

En términos generales, dos contornos en el plano complejo son homotópicos si uno puede deformarse continuamente en el otro sin cruzar ninguna singularidad de la función integranda. El Teorema de la Homotopía de Cauchy establece que si una función \( f(z) \) es analítica en una región \( D \) y dos contornos \( \gamma_1 \) y \( \gamma_2 \) en \( D \) son homotópicos dentro de \( D \), entonces las integrales de \( f \) a lo largo de estos contornos son iguales.

### Aplicación a las Integrales Dadas

Consideremos las integrales:

1. \(\int_{|z|=1} \frac{dz}{z^3(z^2 + 10)}\)
2. \(\int_{|z|=2} \frac{dz}{z^3(z^2 + 10)}\)

#### Singularidades de la Función Integranda

La función integranda \(\frac{1}{z^3(z^2 + 10)}\) tiene singularidades en:

- \( z = 0 \) (polo de orden 3)
- \( z = \pm i\sqrt{10} \) (polos simples)

#### Región de Homotopía

Queremos demostrar que las dos integrales son iguales utilizando el concepto de homotopía. Observamos que la función integranda es meromorfa en \(\mathbb{C}\) excepto en los polos mencionados.

La región entre los contornos \(|z| = 1\) y \(|z| = 2\) no contiene las singularidades \(z = \pm i\sqrt{10}\), ya que \(\sqrt{10} \approx 3.16\), que es mayor que el radio de ambos contornos. La única singularidad contenida en esta región es \(z = 0\).

#### Deformación Homotópica

Podemos deformar el contorno \(|z| = 1\) continuamente al contorno \(|z| = 2\) sin cruzar ninguna de las singularidades \(z = \pm i\sqrt{10}\). Como resultado, la función integranda no tiene singularidades dentro de la región delimitada por estos contornos aparte del polo en \(z = 0\), y, por lo tanto, la integral de la función alrededor de \(|z| = 1\) y \(|z| = 2\) debe ser la misma.

#### Argumento Final

Dado que la función integranda \(\frac{1}{z^3(z^2 + 10)}\) es meromorfa y sus únicas singularidades en el plano complejo están en \(z = 0\) y \(z = \pm i\sqrt{10}\), y que \(z = \pm i\sqrt{10}\) están fuera de la región entre \(|z|=1\) y \(|z|=2\), podemos utilizar el teorema de homotopía de Cauchy. Como resultado, las integrales sobre estos dos contornos deben ser iguales porque se pueden deformar una en la otra sin cruzar ninguna singularidad.

\[ \int_{|z|=1} \frac{dz}{z^3(z^2 + 10)} = \int_{|z|=2} \frac{dz}{z^3(z^2 + 10)} \]

### Conclusión

Las integrales son iguales por el teorema de homotopía de Cauchy, ya que los contornos \(|z| = 1\) y \(|z| = 2\) son homotópicos en una región donde la función es analítica (excepto en \(z = 0\) que está contenido en ambos).

¿Te gustaría una explicación más detallada o tienes alguna pregunta adicional?

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Qué es la homotopía en el contexto de la teoría de funciones complejas?
2. ¿Cómo se aplica el teorema de homotopía de Cauchy?
3. ¿Qué condiciones deben cumplirse para que dos contornos sean homotópicos?
4. ¿Por qué la deformación continua de contornos no cruza singularidades?
5. ¿Qué diferencia hay entre el teorema de los residuos y el teorema de homotopía?
6. ¿Cómo identificar si una función es meromorfa en una región?
7. ¿Qué son los polos de una función meromorfa?
8. ¿Cómo se relacionan los contornos en el plano complejo con las integrales de contorno?

### Tip:
Para aplicar correctamente el teorema de homotopía, es crucial asegurarse de que la región entre los contornos no contenga ninguna singularidad de la función integranda.

Learn how to use homotopy in complex analysis to prove that two integrals are equal. This problem involves applying Cauchy's Homotopy Theorem and analyzing contour integrals in the complex plane. Suitable for graduate-level students and researchers.

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