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Na figura a seguir os segmentos AB e CD são paralelos e medem, respectivamente 5 cm e 2 cm. Determine a medida do segmento AE de modo que o segmento DE divide o quadrilátero ABCD em duas figuras de mesma área.

Para resolver o problema, precisamos determinar o comprimento do segmento \( AE \) de modo que o segmento \( DE \) divide o quadrilátero \( ABCD \) em duas regiões de mesma área.

### Passo 1: Área total do trapézio \( ABCD \)
O quadrilátero \( ABCD \) é um trapézio, pois os lados \( AB \) e \( CD \) são paralelos.

A fórmula para a área de um trapézio é:
\[
\text{Área} = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2}
\]
onde \( h \) é a altura do trapézio.

### Passo 2: Considerações sobre a divisão das áreas
Queremos que o segmento \( DE \) divida o trapézio em duas regiões de áreas iguais. Como ambas as áreas são iguais, cada uma será igual à metade da área total do trapézio.

### Passo 3: Calcular a razão entre as bases
Se \( AB = 5 \) cm e \( CD = 2 \) cm, a razão entre as bases é:
\[
\text{Razão} = \frac{CD}{AB} = \frac{2}{5}
\]

### Passo 4: Aplicar o Teorema de Tales
O ponto \( E \) deve ser posicionado de tal forma que a área dos dois trapézios formados sejam iguais. Pelo Teorema de Tales, temos:
\[
\frac{AE}{EB} = \frac{CD}{AB} = \frac{2}{5}
\]

Agora, sabemos que \( AE + EB = AB \). Então, se chamarmos \( AE = x \), temos:
\[
EB = 5 - x
\]

Substituindo na equação da razão:
\[
\frac{x}{5 - x} = \frac{2}{5}
\]

### Passo 5: Resolver a equação
Agora, vamos resolver para \( x \):
\[
5x = 2(5 - x)
\]
\[
5x = 10 - 2x
\]
\[
7x = 10
\]
\[
x = \frac{10}{7} \approx 1,43 \text{ cm}
\]

### Conclusão
A medida do segmento \( AE \) é aproximadamente 1,43 cm para que o segmento \( DE \) divida o quadrilátero \( ABCD \) em duas regiões de mesma área.

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Você gostaria de mais detalhes sobre algum passo da solução? 

Aqui estão algumas perguntas relacionadas:

1. Como o Teorema de Tales é aplicado em outras figuras geométricas?
2. Qual a importância das proporções em problemas de áreas?
3. Você poderia explorar como calcular a área de diferentes quadriláteros?
4. Como o conceito de área pode ser aplicado em problemas tridimensionais?
5. Quais são outras aplicações práticas do Teorema de Tales?

**Dica:** Entender bem as proporções e o Teorema de Tales é essencial para resolver muitos problemas de geometria, especialmente aqueles que envolvem figuras semelhantes.

Na figura a seguir os segmentos AB e CD são paralelos e medem, respectivamente 5 cm e 2 cm. Determine a medida do segmento AE de modo que o segmento DE divide o quadrilátero ABCD em duas figuras de mesma área.

Saiba como calcular a medida do segmento AE no trapézio ABCD, onde os segmentos AB e CD são paralelos, para que o segmento DE divida o quadrilátero em duas áreas iguais. Este problema envolve conceitos como a área do trapézio, proporções, e o Teorema de Tales. Adequado para estudantes dos Ensinos Fundamental e Médio.

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