El hermano de Andrés es 7 años menor que él y el producto de sus edades es igual a 120 ¿Cuál es la edad de Andrés y de su hermano menor? Determina la ecuación cuadrática que define y modela el problema.

Para resolver este problema, primero definimos las edades de Andrés y su hermano menor.

Sea \( x \) la edad de Andrés. Entonces, la edad de su hermano menor es \( x - 7 \). Sabemos que el producto de sus edades es igual a 120. Esto nos da la ecuación:

\[ x(x - 7) = 120 \]

Desarrollamos y reordenamos la ecuación para obtener una ecuación cuadrática:

\[ x^2 - 7x = 120 \]

Restamos 120 de ambos lados para igualar la ecuación a cero:

\[ x^2 - 7x - 120 = 0 \]

Esta es la ecuación cuadrática que modela el problema.

Para encontrar las edades de Andrés y su hermano menor, resolvemos la ecuación cuadrática usando la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas, que es:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

En nuestra ecuación, \( a = 1 \), \( b = -7 \), y \( c = -120 \). Sustituimos estos valores en la fórmula:

\[ x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(1)(-120)}}{2(1)} \]

\[ x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 480}}{2} \]

\[ x = \frac{7 \pm \sqrt{529}}{2} \]

\[ x = \frac{7 \pm 23}{2} \]

Esto nos da dos posibles soluciones para \( x \):

1. \( x = \frac{7 + 23}{2} = \frac{30}{2} = 15 \)
2. \( x = \frac{7 - 23}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \)

La solución \( x = -8 \) no es válida, ya que las edades no pueden ser negativas. Por lo tanto, la edad de Andrés es 15 años. La edad de su hermano menor es:

\[ 15 - 7 = 8 \]

Por lo tanto, Andrés tiene 15 años y su hermano menor tiene 8 años.

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta sobre esto? Aquí tienes algunas preguntas adicionales que podrías hacer:

1. ¿Cómo se determinan las soluciones de una ecuación cuadrática?
2. ¿Qué otros métodos se pueden usar para resolver ecuaciones cuadráticas?
3. ¿Cómo se puede verificar que las soluciones obtenidas son correctas?
4. ¿Qué es el discriminante de una ecuación cuadrática y cómo se usa?
5. ¿Cómo se interpretan gráficamente las soluciones de una ecuación cuadrática?

**Tip:** Siempre verifica las soluciones de una ecuación cuadrática sustituyéndolas de nuevo en la ecuación original para asegurarte de que son correctas.

Explore the solution to the problem of Andrés's age and his brother's age, given their age difference and the product of their ages. The problem involves solving the quadratic equation x^2 - 7x - 120 = 0 using the quadratic formula. Suitable for students in Grades 8-9.

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