Eine optionale Regel beim Brettspiel Mensch ärgere Dich nicht lautet: „Hat ein Spieler überhaupt keine Figur auf dem Spielfeld, so hat er in jeder Runde 3 Versuche, den nötigen Sechser zu würfeln, um eine Figur ins Spiel zu bringen." a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, bel 3 Würfen mindestens 1 Sechser zu würfeln. b) Erklären Sie, warum die Berechnung mittels Gegenwahrscheinlichkeit hier weniger auf-wendig ist.

a) **Wahrscheinlichkeit, bei 3 Würfen mindestens 1 Sechser zu würfeln:**

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass bei 3 Würfen mindestens 1 Sechser gewürfelt wird, verwenden wir die Gegenwahrscheinlichkeit.

1. Die Wahrscheinlichkeit, bei einem einzelnen Wurf **keinen** Sechser zu würfeln, beträgt:
   \[
   P(\text{kein Sechser}) = 1 - P(\text{Sechser}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}
   \]

2. Die Wahrscheinlichkeit, bei **drei** Würfen **keinen** Sechser zu würfeln, ist:
   \[
   P(\text{kein Sechser in 3 Würfen}) = \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{5^3}{6^3} = \frac{125}{216}
   \]

3. Die Wahrscheinlichkeit, bei 3 Würfen **mindestens 1 Sechser** zu würfeln, ist die Gegenwahrscheinlichkeit dazu:
   \[
   P(\text{mindestens 1 Sechser}) = 1 - P(\text{kein Sechser in 3 Würfen}) = 1 - \frac{125}{216} = \frac{216 - 125}{216} = \frac{91}{216} \approx 0,4213
   \]
   Die Wahrscheinlichkeit beträgt also etwa 42,13 %.

b) **Warum ist die Berechnung mittels Gegenwahrscheinlichkeit weniger aufwendig?**

Die direkte Berechnung der Wahrscheinlichkeit, mindestens einen Sechser zu würfeln, wäre aufwendiger, da wir die Wahrscheinlichkeiten für genau 1, genau 2 und genau 3 Sechser berechnen und summieren müssten. Dies ist unnötig kompliziert, da die Gegenwahrscheinlichkeit (kein Sechser) einfacher zu berechnen ist und direkt abgezogen werden kann. 

Mit der Gegenwahrscheinlichkeit reicht es, nur eine Möglichkeit zu betrachten (kein Sechser), anstatt alle möglichen Kombinationen, die mindestens einen Sechser enthalten.

**Verständnisfragen:**
1. Was wäre die Wahrscheinlichkeit, bei 4 Würfen mindestens 1 Sechser zu würfeln?
2. Wie könnte man die Wahrscheinlichkeit berechnen, genau 2 Sechser in 3 Würfen zu bekommen?
3. Wie verändert sich die Wahrscheinlichkeit, mindestens 1 Sechser zu würfeln, bei mehr Würfen?
4. Was ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem einzigen Wurf keinen Sechser zu würfeln?
5. Wie könnte man diese Methode auf ein anderes Würfelspiel anwenden?

**Tipp:** Nutze die Gegenwahrscheinlichkeit, wenn es kompliziert wird, alle möglichen Ereignisse direkt zu berechnen.

Erfahren Sie, wie man die Wahrscheinlichkeit berechnet, bei 3 Würfen eines Würfels mindestens 1 Sechser zu erhalten. Die Lösung umfasst die Anwendung der Gegenwahrscheinlichkeit und erklärt, warum diese Methode effizienter ist. Ideal für Schüler der Klassen 9-12.

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