Halla el centro y el radio de las circunferencias dadas: x2+y2+16x-4y-13=0

Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia dada por la ecuación \(x^2 + y^2 + 16x - 4y - 13 = 0\), seguimos estos pasos:

1. **Reescribir la ecuación en la forma estándar de la circunferencia:**

   Agrupamos los términos de \(x\) y \(y\):
   \[
   x^2 + 16x + y^2 - 4y = 13
   \]

2. **Completar el cuadrado para los términos \(x\) y \(y\):**

   - Para \(x^2 + 16x\), tomamos la mitad del coeficiente de \(x\) (que es 16), lo dividimos por 2 y lo elevamos al cuadrado:
     \[
     \left(\frac{16}{2}\right)^2 = 8^2 = 64
     \]
     Entonces, \(x^2 + 16x\) se convierte en \( (x + 8)^2 - 64 \).

   - Para \(y^2 - 4y\), tomamos la mitad del coeficiente de \(y\) (que es -4), lo dividimos por 2 y lo elevamos al cuadrado:
     \[
     \left(\frac{-4}{2}\right)^2 = (-2)^2 = 4
     \]
     Entonces, \(y^2 - 4y\) se convierte en \( (y - 2)^2 - 4 \).

   Incorporamos estos términos en la ecuación:
   \[
   (x + 8)^2 - 64 + (y - 2)^2 - 4 = 13
   \]

3. **Simplificar la ecuación:**

   Sumamos 64 y 4 a ambos lados de la ecuación para completar los cuadrados:
   \[
   (x + 8)^2 - 64 + (y - 2)^2 - 4 = 13
   \]
   \[
   (x + 8)^2 + (y - 2)^2 - 68 = 13
   \]
   \[
   (x + 8)^2 + (y - 2)^2 = 81
   \]

4. **Identificar el centro y el radio:**

   La ecuación ahora está en la forma estándar:
   \[
   (x + 8)^2 + (y - 2)^2 = 81
   \]

   Comparando con \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\), podemos ver que:
   - El centro \((h, k)\) es \((-8, 2)\).
   - El radio \(r\) es \(\sqrt{81} = 9\).

**Por lo tanto, el centro de la circunferencia es \((-8, 2)\) y el radio es \(9\).**

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

### Preguntas para seguir practicando:
1. ¿Cómo completar el cuadrado para la ecuación \(x^2 + y^2 + 6x - 4y - 12 = 0\)?
2. ¿Cuál es la ecuación de una circunferencia con centro en (3, -5) y radio 7?
3. ¿Cómo se puede determinar si un punto dado está dentro, fuera o sobre una circunferencia?
4. ¿Cómo derivar la ecuación general de una circunferencia a partir de su forma paramétrica?
5. ¿Cuál es la relación entre la circunferencia y sus tangentes desde un punto exterior?

### Consejo
Al trabajar con ecuaciones de circunferencias, siempre intenta reescribirlas en la forma estándar completando el cuadrado, lo que facilita la identificación del centro y el radio.

Learn how to find the center and radius of a circle given by the equation x^2 + y^2 + 16x - 4y - 13 = 0. This problem involves completing the square to transform the equation into its standard form, identifying key coordinates, and calculating the radius. Suitable for high school students (Grades 10-12).

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