Halla el centro y el radio de las circunferencias dadas: 3x2+3y2+ 30x+24y+15=0

Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia dada por la ecuación \(3x^2 + 3y^2 + 30x + 24y + 15 = 0\), seguimos estos pasos:

1. **Reescribir la ecuación en términos más manejables:**

   Dividimos toda la ecuación por 3 para simplificar:
   \[
   x^2 + y^2 + 10x + 8y + 5 = 0
   \]

2. **Reescribir la ecuación en la forma estándar de la circunferencia:**

   Agrupamos los términos de \(x\) y \(y\):
   \[
   x^2 + 10x + y^2 + 8y = -5
   \]

3. **Completar el cuadrado para los términos \(x\) y \(y\):**

   - Para \(x^2 + 10x\), tomamos la mitad del coeficiente de \(x\) (que es 10), lo dividimos por 2 y lo elevamos al cuadrado:
     \[
     \left(\frac{10}{2}\right)^2 = 5^2 = 25
     \]
     Entonces, \(x^2 + 10x\) se convierte en \( (x + 5)^2 - 25 \).

   - Para \(y^2 + 8y\), tomamos la mitad del coeficiente de \(y\) (que es 8), lo dividimos por 2 y lo elevamos al cuadrado:
     \[
     \left(\frac{8}{2}\right)^2 = 4^2 = 16
     \]
     Entonces, \(y^2 + 8y\) se convierte en \( (y + 4)^2 - 16 \).

   Incorporamos estos términos en la ecuación:
   \[
   (x + 5)^2 - 25 + (y + 4)^2 - 16 = -5
   \]

4. **Simplificar la ecuación:**

   Sumamos 25 y 16 a ambos lados de la ecuación para completar los cuadrados:
   \[
   (x + 5)^2 - 25 + (y + 4)^2 - 16 = -5
   \]
   \[
   (x + 5)^2 + (y + 4)^2 - 41 = -5
   \]
   \[
   (x + 5)^2 + (y + 4)^2 = 36
   \]

5. **Identificar el centro y el radio:**

   La ecuación ahora está en la forma estándar:
   \[
   (x + 5)^2 + (y + 4)^2 = 36
   \]

   Comparando con \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\), podemos ver que:
   - El centro \((h, k)\) es \((-5, -4)\).
   - El radio \(r\) es \(\sqrt{36} = 6\).

**Por lo tanto, el centro de la circunferencia es \((-5, -4)\) y el radio es \(6\).**

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

### Preguntas para seguir practicando:
1. ¿Cómo completar el cuadrado para la ecuación \(x^2 + y^2 + 6x - 4y - 12 = 0\)?
2. ¿Cuál es la ecuación de una circunferencia con centro en (3, -5) y radio 7?
3. ¿Cómo se puede determinar si un punto dado está dentro, fuera o sobre una circunferencia?
4. ¿Cómo derivar la ecuación general de una circunferencia a partir de su forma paramétrica?
5. ¿Cuál es la relación entre la circunferencia y sus tangentes desde un punto exterior?

### Consejo
Al trabajar con ecuaciones de circunferencias, siempre intenta reescribirlas en la forma estándar completando el cuadrado, lo que facilita la identificación del centro y el radio.

Learn how to find the center and radius of the circle defined by the equation 3x^2 + 3y^2 + 30x + 24y + 15 = 0 using completing the square method. This problem covers key algebraic concepts and techniques in analytic geometry. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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