Encuentra la ecuación general de la circunferencia que pasa por los tres puntos dados: A(-3, 0), B(-4, 1), C(-2, 1)

Para encontrar la ecuación general de la circunferencia que pasa por los tres puntos dados \(A(-3, 0)\), \(B(-4, 1)\), y \(C(-2, 1)\), podemos usar el determinante de la matriz formada por los puntos y los términos cuadráticos correspondientes.

La ecuación general de una circunferencia es:
\[
x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
\]
donde \(D\), \(E\), y \(F\) son coeficientes que debemos encontrar.

Dado que la circunferencia pasa por los puntos \((-3, 0)\), \((-4, 1)\), y \((-2, 1)\), podemos escribir el sistema de ecuaciones correspondiente:

1. Para el punto \(A(-3, 0)\):
\[
(-3)^2 + (0)^2 + D(-3) + E(0) + F = 0 \implies 9 - 3D + F = 0 \implies 3D - F = 9
\]

2. Para el punto \(B(-4, 1)\):
\[
(-4)^2 + (1)^2 + D(-4) + E(1) + F = 0 \implies 16 + 1 - 4D + E + F = 0 \implies -4D + E + F = -17
\]

3. Para el punto \(C(-2, 1)\):
\[
(-2)^2 + (1)^2 + D(-2) + E(1) + F = 0 \implies 4 + 1 - 2D + E + F = 0 \implies -2D + E + F = -5
\]

Ahora tenemos un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas \(D\), \(E\), y \(F\):

\[
\begin{cases}
3D - F = 9 \\
-4D + E + F = -17 \\
-2D + E + F = -5
\end{cases}
\]

Primero, resolvemos las dos últimas ecuaciones para \(E\) y \(F\):

Restamos la tercera ecuación de la segunda:
\[
(-4D + E + F) - (-2D + E + F) = -17 - (-5) \implies -2D = -12 \implies D = 6
\]

Sustituimos \(D = 6\) en la primera ecuación:
\[
3(6) - F = 9 \implies 18 - F = 9 \implies F = 9
\]

Finalmente, sustituimos \(D = 6\) y \(F = 9\) en la segunda ecuación:
\[
-4(6) + E + 9 = -17 \implies -24 + E + 9 = -17 \implies E - 15 = -17 \implies E = -2
\]

Por lo tanto, tenemos \(D = 6\), \(E = -2\), y \(F = 9\). La ecuación general de la circunferencia es:
\[
x^2 + y^2 + 6x - 2y + 9 = 0
\]

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

### Preguntas para seguir practicando:
1. ¿Cómo encontrar la ecuación de una circunferencia dada su forma estándar?
2. ¿Cómo encontrar la ecuación de una parábola que pasa por tres puntos dados?
3. ¿Cómo se determina si un punto está en una circunferencia dada su ecuación?
4. ¿Cómo se encuentra la ecuación de una elipse que pasa por tres puntos dados?
5. ¿Cuál es la fórmula general para la distancia desde un punto hasta una circunferencia?

### Consejo
Para resolver problemas de circunferencias que pasan por puntos específicos, usar determinantes y sistemas de ecuaciones puede simplificar el proceso. Asegúrate de revisar bien los cálculos para obtener los coeficientes correctos.

Aprende cómo encontrar la ecuación general de una circunferencia que pasa por los puntos A(-3, 0), B(-4, 1), y C(-2, 1) con una solución detallada paso a paso. Este problema cubre conceptos de geometría analítica y sistemas de ecuaciones lineales. Adecuado para estudiantes de Grados 10-12.

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