Eine faire Münze wird 5-mal geworfen, wobei „Kopf” als Treffer interpretiert wird. Sei X die Zufallsvariable „Trefferanzahl”. Betrachten Sie ein geeignetes Laplace-Modell.
Hinweis: Kodiere die Münzseite "Zahl" mit 1 und die Seite "Kopf" (Treffer) mit 0.
Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten (als gekürzten Bruch):
 
Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen X:

Um diese Aufgabe zu lösen, betrachten wir die Zufallsvariable \( X \), die die Anzahl der Treffer (Kopf) bei 5 Würfen einer fairen Münze zählt. Eine faire Münze bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit für Kopf \( P(Kopf) = \frac{1}{2} \) und die Wahrscheinlichkeit für Zahl \( P(Zahl) = \frac{1}{2} \) beträgt.

### 1. Wahrscheinlichkeitsverteilung der Trefferanzahl
Die Zufallsvariable \( X \) ist binomialverteilt, da es sich um eine Serie von unabhängigen Bernoulli-Experimenten (Wurf einer Münze) handelt. \( X \) zählt die Anzahl der Treffer (Kopf), also ist \( X \) binomialverteilt mit den Parametern:
- \( n = 5 \) (Anzahl der Versuche)
- \( p = \frac{1}{2} \) (Wahrscheinlichkeit eines Treffers bei jedem Wurf)

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung lautet:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
\]
Für diese Aufgabe sind \( n = 5 \) und \( p = \frac{1}{2} \), daher:
\[
P(X = k) = \binom{5}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^5
\]

### 2. Erwartungswert \( E(X) \)
Der Erwartungswert \( E(X) \) für eine binomialverteilte Zufallsvariable \( X \) ist gegeben durch:
\[
E(X) = n \cdot p
\]
Mit \( n = 5 \) und \( p = \frac{1}{2} \) ergibt sich:
\[
E(X) = 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{2} = 2,5
\]

### 3. Varianz \( \text{Var}(X) \)
Die Varianz \( \text{Var}(X) \) für eine binomialverteilte Zufallsvariable \( X \) ist gegeben durch:
\[
\text{Var}(X) = n \cdot p \cdot (1-p)
\]
Mit \( n = 5 \) und \( p = \frac{1}{2} \) ergibt sich:
\[
\text{Var}(X) = 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(1 - \frac{1}{2}\right) = 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{4} = 1,25
\]

### Zusammenfassung
- **Erwartungswert \( E(X) \)**: \( 2,5 \)
- **Varianz \( \text{Var}(X) \)**: \( 1,25 \)

Möchten Sie Details zu den Berechnungen oder haben Sie noch Fragen?

Hier sind fünf weiterführende Fragen:
1. Wie ändert sich der Erwartungswert, wenn die Münze 10-mal geworfen wird?
2. Wie berechnet man die Standardabweichung von \( X \)?
3. Was passiert mit der Varianz, wenn die Wahrscheinlichkeit für Kopf \( p \) auf \( \frac{3}{4} \) geändert wird?
4. Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass genau 3 Treffer (Kopf) erzielt werden?
5. Wie verändert sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn die Münze nicht fair ist (z. B. \( P(Kopf) = \frac{2}{3} \))?

**Tipp:** Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen gibt den Durchschnittswert an, den man bei sehr vielen Versuchen erwarten würde.

Eine faire Münze wird 5-mal geworfen, wobei „Kopf” als Treffer interpretiert wird. Sei X die Zufallsvariable „Trefferanzahl”. Betrachten Sie ein geeignetes Laplace-Modell. Hinweis: Kodiere die Münzseite "Zahl" mit 1 und die Seite "Kopf" (Treffer) mit 0. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen X.

Erfahren Sie, wie Sie den Erwartungswert und die Varianz der Trefferanzahl berechnen, wenn eine faire Münze 5-mal geworfen wird. Die Aufgabe nutzt die Binomialverteilung und beinhaltet die Berechnung der Wahrscheinlichkeitsverteilung, des Erwartungswerts und der Varianz. Geeignet für Schüler der Klassen 10-12.

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