Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật,SC vuông (ABCD). Biết CD = 3a, CB = 8a, SC = 3a. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SDA)

Cho hình chóp \( S.ABCD \) có đáy là hình chữ nhật, \( SC \) vuông góc với \( (ABCD) \). Ta có các thông tin sau:

- \( CD = 3a \)
- \( CB = 8a \)
- \( SC = 3a \)

Cần tính khoảng cách từ điểm \( C \) đến mặt phẳng \( (SDA) \).

1. **Xác định các tọa độ:**

   Đặt hệ tọa độ như sau:
   - \( A(0,0,0) \)
   - \( B(8a,0,0) \)
   - \( D(0,3a,0) \)
   - \( C(8a,3a,0) \)
   - \( S(8a,3a,3a) \)

2. **Phương trình mặt phẳng \( (SDA) \):**

   Mặt phẳng \( (SDA) \) đi qua ba điểm \( S, D, A \). Để tìm phương trình mặt phẳng, ta tính các vector:
   - \( \overrightarrow{SD} = D - S = (0 - 8a, 3a - 3a, 0 - 3a) = (-8a, 0, -3a) \)
   - \( \overrightarrow{SA} = A - S = (0 - 8a, 0 - 3a, 0 - 3a) = (-8a, -3a, -3a) \)

   Vector pháp tuyến của mặt phẳng \( (SDA) \) là tích có hướng của \( \overrightarrow{SD} \) và \( \overrightarrow{SA} \):

   \[
   \overrightarrow{n} = \overrightarrow{SD} \times \overrightarrow{SA}
   \]

   Tính tích có hướng:

   \[
   \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix}
   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
   -8a & 0 & -3a \\
   -8a & -3a & -3a
   \end{vmatrix} = \mathbf{i} (0 \cdot -3a - (-3a) \cdot (-3a)) - \mathbf{j} (-8a \cdot -3a - (-3a) \cdot -8a) + \mathbf{k} (-8a \cdot -3a - 0 \cdot -8a)
   \]

   \[
   \overrightarrow{n} = \mathbf{i} (0 + 9a^2) - \mathbf{j} (24a^2 - 24a^2) + \mathbf{k} (24a^2)
   \]

   \[
   \overrightarrow{n} = 9a^2 \mathbf{i} + 0 \mathbf{j} + 24a^2 \mathbf{k} = 9a^2 \mathbf{i} + 24a^2 \mathbf{k}
   \]

   Phương trình mặt phẳng có dạng:

   \[


Learn how to calculate the distance from point C to the plane (SDA) in 3D geometry using vectors and plane equations. This problem involves applying vector cross product and understanding 3D coordinates. Suitable for students in Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation