Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SCI(ABCD). Biết CD = 3a, CB = 8a SC = 3a. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SDA

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, với \(ABCD\) là mặt đáy và \(S\) là đỉnh của hình chóp. Theo đề bài:

- \(CD = 3a\)
- \(CB = 8a\)
- \(SC = 3a\)

Ta cần tính khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \((SDA)\).

### Bước 1: Đặt hệ trục tọa độ

Đặt \(A(0, 0, 0)\), \(B(8a, 0, 0)\), \(D(0, 3a, 0)\), \(C(8a, 3a, 0)\), và \(S(8a, 3a, 3a)\).

### Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng \((SDA)\)

Ta cần tìm phương trình của mặt phẳng \((SDA)\) thông qua 3 điểm \(S(8a, 3a, 3a)\), \(D(0, 3a, 0)\), và \(A(0, 0, 0)\).

Xét vector \(\overrightarrow{SD}\) và \(\overrightarrow{SA}\):
- \(\overrightarrow{SD} = (0 - 8a, 3a - 3a, 0 - 3a) = (-8a, 0, -3a)\)
- \(\overrightarrow{SA} = (0 - 8a, 0 - 3a, 0 - 3a) = (-8a, -3a, -3a)\)

Phương trình mặt phẳng \((SDA)\) có dạng: \(Ax + By + Cz + D = 0\). Ta tìm tích có hướng của \(\overrightarrow{SD}\) và \(\overrightarrow{SA}\):

\[
\overrightarrow{SD} \times \overrightarrow{SA} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
-8a & 0 & -3a \\
-8a & -3a & -3a
\end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot (-3a) - (-3a) \cdot (-3a)) - \mathbf{j}((-8a) \cdot (-3a) - (-8a) \cdot (-3a)) + \mathbf{k}((-8a) \cdot (-3a) - (0) \cdot (-8a))
\]

\[
= \mathbf{i}(0 + 9a^2) - \mathbf{j}(24a^2 - 24a^2) + \mathbf{k}(24a^2 - 0)
\]

\[
= 9a^2 \mathbf{i} - 0 \mathbf{j} + 24a^2 \mathbf{k} = (9a^2, 0, 24a^2)
\]

Phương trình mặt phẳng có dạng:

\[
9a^2x + 0y + 24a^2z + D = 0
\]

Sử dụng điểm \(S(8a, 3a, 3a)\) để tìm \(D\):

\[
9a^2 \cdot 8a + 0 \cdot 3a + 24a^2 \cdot 3a + D = 0
\]

\[
72a^3 + 72a^3 + D = 0
\]

\[
D = -144a^3
\]

Vậy phương trình mặt phẳng \((SDA)\) là:

\[
9ax + 24az - 144a^3 = 0
\]

### Bước 3: Tính khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \((SDA)\)

Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm \(M(x_0, y_0, z_0)\) đến mặt phẳng \(Ax + By + Cz + D = 0\):

\[
d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
\]

Với \(C(8a, 3a, 0)\), \(A = 9a\), \(B = 0\), \(C = 24a\), \(D = -144a^3\):

\[
d = \frac{|9a \cdot 8a + 0 \cdot 3a + 24a \cdot 0 - 144a^3|}{\sqrt{(9a)^2 + 0^2 + (24a)^2}}
\]

\[
= \frac{|72a^2 - 144a^3|}{\sqrt{81a^2 + 576a^2}}
\]

\[
= \frac{72a^2}{\sqrt{657a^2}}
\]

\[
= \frac{72a^2}{a \sqrt{657}}
\]

\[
= \frac{72a}{\sqrt{657}}
\]

Vậy, khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \((SDA)\) là \(\frac{72a}{\sqrt{657}}\).

Bạn có câu hỏi nào không hoặc muốn chi tiết hơn?

Dưới đây là 5 câu hỏi tiếp theo bạn có thể hỏi:
1. Làm thế nào để tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian?
2. Phương pháp nào để tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng?
3. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng trong không gian?
4. Làm thế nào để chứng minh ba điểm là đồng phẳng?
5. Phương trình mặt cầu trong không gian được viết như thế nào?

**Tip:** Trong hình học không gian, sử dụng hệ tọa độ giúp đơn giản hóa việc tính toán và giải quyết các bài toán phức tạp.

Learn how to calculate the distance from point C to plane (SDA) in the geometric solid S.ABCD. This problem involves using vectors, coordinates, and the distance formula. Suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation