Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật,SC vuông (ABCD). Biết CD = 3a, CB = 8a SC = 3a. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SDA

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, \(SC\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\). Ta biết:

- \(CD = 3a\)
- \(CB = 8a\)
- \(SC = 3a\)

Để tính khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \((SDA)\), ta làm theo các bước sau:

1. **Xác định tọa độ các điểm trong không gian**:
   - Đặt \(A(0, 0, 0)\), \(B(8a, 0, 0)\), \(D(0, 3a, 0)\), \(C(8a, 3a, 0)\)
   - Điểm \(S\) có tọa độ \(S(8a, 3a, 3a)\) (vì \(SC = 3a\))

2. **Phương trình mặt phẳng \((SDA)\)**:
   - Xét các vectơ \(\overrightarrow{SA}\), \(\overrightarrow{SD}\) và \(\overrightarrow{AD}\):
     \[
     \overrightarrow{SA} = (8a - 0, 3a - 0, 3a - 0) = (8a, 3a, 3a)
     \]
     \[
     \overrightarrow{SD} = (8a - 0, 3a - 3a, 3a - 0) = (8a, 0, 3a)
     \]
     \[
     \overrightarrow{AD} = (0 - 0, 3a - 0, 0 - 0) = (0, 3a, 0)
     \]
   - Tính tích có hướng \(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{SA} \times \overrightarrow{AD}\):
     \[
     \overrightarrow{SA} \times \overrightarrow{AD} = \begin{vmatrix}
     \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
     8a & 3a & 3a \\
     0 & 3a & 0 \\
     \end{vmatrix} = \mathbf{i} (3a \cdot 0 - 3a \cdot 0) - \mathbf{j} (8a \cdot 0 - 3a \cdot 0) + \mathbf{k} (8a \cdot 3a - 0 \cdot 3a) 
     \]
     \[
     = \mathbf{k} (24a^2) = (0, 0, 24a^2)
     \]

   Vậy, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SDA)\) là \(\overrightarrow{n} = (0, 0, 24a^2)\). Phương trình mặt phẳng có dạng:
     \[
     0x + 0y + 24a^2z + D = 0 \Rightarrow z + \frac{D}{24a^2} = 0
     \]
     Do \(S(8a, 3a, 3a)\) thuộc mặt phẳng này, ta có:
     \[
     3a + \frac{D}{24a^2} = 0 \Rightarrow D = -72a^3
     \]
     Phương trình mặt phẳng \((SDA)\) là:
     \[
     z - 3a = 0 \Rightarrow z = 3a
     \]

3. **Khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \((SDA)\)**:
   - Khoảng cách từ điểm \(C(8a, 3a, 0)\) đến mặt phẳng \(z = 3a\) được tính bằng:
     \[
     d = \frac{|0 - 3a|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{|-3a|}{1} = 3a
     \]

Vậy, khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \((SDA)\) là \(3a\).

Bạn có muốn biết thêm chi tiết hoặc có bất kỳ câu hỏi nào không? Sau đây là một số câu hỏi mẫu bạn có thể tham khảo:

1. Làm thế nào để tính diện tích hình chiếu của hình chóp lên một mặt phẳng bất kỳ?
2. Cách tính thể tích của hình chóp tứ giác đều?
3. Làm thế nào để tìm tọa độ của trọng tâm một hình chóp?
4. Phương pháp nào để xác định góc giữa hai mặt phẳng trong không gian?
5. Cách tính độ dài đoạn thẳng khi biết tọa độ các điểm trong không gian?

**Mẹo:** Khi làm việc với hình học không gian, việc xác định chính xác tọa độ và phương trình mặt phẳng rất quan trọng để tính toán các khoảng cách và góc độ một cách chính xác.

Learn how to calculate the distance from point C to the plane (SDA) in 3D space. This problem involves 3D coordinate geometry, vector cross product, and the equation of a plane. Suitable for high school students studying geometry in 3D space.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation