Halla el centro y el radio de las circunferencias dadas: x2+y2-8x-14y+61=0

Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia dada por la ecuación \( x^2 + y^2 - 8x - 14y + 61 = 0 \), seguimos estos pasos:

1. **Reescribir la ecuación en la forma estándar de la circunferencia:** 
   
   La ecuación general de la circunferencia es \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \), donde \((h, k)\) es el centro y \(r\) es el radio.

2. **Completar el cuadrado para los términos \(x\) y \(y\):**

   Agrupamos los términos de \(x\) y \(y\):
   \[
   x^2 - 8x + y^2 - 14y = -61
   \]

   Ahora completamos el cuadrado:

   - Para \(x^2 - 8x\), tomamos la mitad del coeficiente de \(x\) (que es -8), lo dividimos por 2 y lo elevamos al cuadrado:
     \[
     \left(\frac{-8}{2}\right)^2 = (-4)^2 = 16
     \]
     Entonces, \(x^2 - 8x\) se convierte en \( (x - 4)^2 - 16 \).

   - Para \(y^2 - 14y\), tomamos la mitad del coeficiente de \(y\) (que es -14), lo dividimos por 2 y lo elevamos al cuadrado:
     \[
     \left(\frac{-14}{2}\right)^2 = (-7)^2 = 49
     \]
     Entonces, \(y^2 - 14y\) se convierte en \( (y - 7)^2 - 49 \).

   Incorporamos estos términos en la ecuación:
   \[
   (x - 4)^2 - 16 + (y - 7)^2 - 49 = -61
   \]

3. **Simplificar la ecuación:**
   
   Sumamos 16 y 49 a ambos lados de la ecuación para completar los cuadrados:
   \[
   (x - 4)^2 - 16 + (y - 7)^2 - 49 + 65 = 0
   \]
   \[
   (x - 4)^2 + (y - 7)^2 = 4
   \]

4. **Identificar el centro y el radio:**

   La ecuación ahora está en la forma estándar:
   \[
   (x - 4)^2 + (y - 7)^2 = 4
   \]

   Comparando con \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\), podemos ver que:
   - El centro \((h, k)\) es \((4, 7)\).
   - El radio \(r\) es \(\sqrt{4} = 2\).

**Por lo tanto, el centro de la circunferencia es (4, 7) y el radio es 2.**

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

### Preguntas para seguir practicando:
1. ¿Cómo completar el cuadrado para la ecuación \(x^2 + y^2 + 6x - 4y - 12 = 0\)?
2. ¿Cuál es la ecuación de una circunferencia con centro en (3, -5) y radio 7?
3. ¿Cómo se puede determinar si un punto dado está dentro, fuera o sobre una circunferencia?
4. ¿Cómo derivar la ecuación general de una circunferencia a partir de su forma paramétrica?
5. ¿Cuál es la relación entre la circunferencia y sus tangentes desde un punto exterior?

### Consejo
Al trabajar con ecuaciones de circunferencias, siempre intenta reescribirlas en la forma estándar completando el cuadrado, lo que facilita la identificación del centro y el radio.

Learn how to find the center and radius of a circle given by the equation x^2 + y^2 - 8x - 14y + 61 = 0. This problem involves completing the square and understanding the standard form of a circle. Suitable for students in Grades 10-12.

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