Bei obigem Glücksspiel erhält der Spieler 4 Euro, wenn das Feld „5” genau einmal erscheint. Erscheint das Feld „5” zweimal, so erhält er 6 Euro. Für mehr als zweimal Feld „5” erhält der Spieler 18 Euro. 

Welchen Betrag kann der Spieler als Auszahlung erwarten? (Durchschnittlicher Gewinn bei häufiger Wiederholung.)

Betrag in Euro:

**(c)** Der Einsatz für obiges Glücksspiel (b) beträgt 4 Euro. Ist das Spiel fair?

### a) Erwartungswert des Gewinns

Um den durchschnittlichen Gewinn zu berechnen, benötigen wir den Erwartungswert des Gewinns. Dieser wird durch die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Ereignisse und den jeweiligen Gewinnen bestimmt.

#### Gewinnverteilung:
1. **Genau einmal „5”**: Gewinn = 4 Euro
2. **Genau zweimal „5”**: Gewinn = 6 Euro
3. **Mehr als zweimal „5”**: Gewinn = 18 Euro

#### Annahmen:
- Das Glücksspiel verwendet einen fairen Würfel (6 Seiten).
- Die Wahrscheinlichkeit, dass das Feld „5” erscheint, beträgt \( p = \frac{1}{6} \).
- Die Wahrscheinlichkeit, dass das Feld nicht „5” erscheint, beträgt \( q = 1 - p = \frac{5}{6} \).

Für die Berechnung müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Gewinnmöglichkeiten berechnen.

#### Wahrscheinlichkeit für genau einmal „5” (k = 1):
Die Anzahl der Möglichkeiten, einmal eine „5” zu würfeln, ist eine Kombination aus 1 „5” und 2 Nicht-„5” (aus 3 Würfen):
\[
P(\text{genau einmal „5”}) = \binom{3}{1} \cdot p^1 \cdot q^2 = 3 \cdot \left( \frac{1}{6} \right) \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^2
\]

#### Wahrscheinlichkeit für genau zweimal „5” (k = 2):
\[
P(\text{genau zweimal „5”}) = \binom{3}{2} \cdot p^2 \cdot q^1 = 3 \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^2 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)
\]

#### Wahrscheinlichkeit für mehr als zweimal „5” (k = 3):
\[
P(\text{mehr als zweimal „5”}) = \binom{3}{3} \cdot p^3 = \left( \frac{1}{6} \right)^3
\]

Nun können wir den Erwartungswert des Gewinns berechnen:
\[
E(X) = P(\text{genau einmal „5”}) \cdot 4 + P(\text{genau zweimal „5”}) \cdot 6 + P(\text{mehr als zweimal „5”}) \cdot 18
\]

Ich berechne dies nun.Der erwartete Gewinn bei diesem Glücksspiel beträgt etwa **1,89 Euro**.

### b) Ist das Spiel fair?

Ein Spiel gilt als fair, wenn der erwartete Gewinn dem Einsatz entspricht. In diesem Fall beträgt der Einsatz **4 Euro**, der erwartete Gewinn jedoch nur **1,89 Euro**. Da der erwartete Gewinn geringer als der Einsatz ist, ist dieses Spiel **nicht fair**.

Möchten Sie weitere Details oder haben Sie Fragen?

Hier sind 5 weiterführende Fragen:
1. Wie wird der Erwartungswert bei mehr als drei Würfen berechnet?
2. Wie wirkt sich die Wahrscheinlichkeit auf den Erwartungswert aus?
3. Wie berechnet man den Erwartungswert, wenn die Auszahlung prozentual vom Einsatz abhängt?
4. Was ist die Varianz in diesem Fall, und wie misst sie das Risiko?
5. Wie kann man ein Glücksspiel so gestalten, dass es fair wird?

**Tipp**: Der Erwartungswert ist ein nützliches Werkzeug, um festzustellen, ob ein Spiel langfristig vorteilhaft ist!

Bei obigem Glücksspiel erhält der Spieler 4 Euro, wenn das Feld „5” genau einmal erscheint. Erscheint das Feld „5” zweimal, so erhält er 6 Euro. Für mehr als zweimal Feld „5” erhält der Spieler 18 Euro. Welchen Betrag kann der Spieler als Auszahlung erwarten? (Durchschnittlicher Gewinn bei häufiger Wiederholung.) Betrag in Euro: (c) Der Einsatz für obiges Glücksspiel (b) beträgt 4 Euro. Ist das Spiel fair?

Berechnen Sie den erwarteten Gewinn eines Glücksspielproblems mit Würfeln. Dieses Problem nutzt Wahrscheinlichkeitsverteilungen, um zu bestimmen, ob das Spiel fair ist, basierend auf dem Einsatz von 4 Euro und einer erwarteten Auszahlung von 1,89 Euro. Geeignet für Schüler der Klassen 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation