determina vertice, fuoco, direttrice della parbola y=x^2-4x+4

Per determinare il vertice, il fuoco e la direttrice della parabola data dall'equazione \( y = x^2 - 4x + 4 \), seguiamo questi passaggi:

1. **Forma canonica della parabola**:
   Riscriviamo l'equazione nella forma canonica \( y = a(x - h)^2 + k \), dove \( (h, k) \) è il vertice della parabola.

2. **Determinazione del vertice**:
   Il vertice si trova completando il quadrato nell'equazione della parabola.

3. **Determinazione del fuoco e della direttrice**:
   Per una parabola di forma \( y = a(x - h)^2 + k \), la distanza focale è data da \( \frac{1}{4a} \). Il fuoco si trova a questa distanza dal vertice lungo l'asse di simmetria della parabola, e la direttrice è la retta opposta.

### Passo 1: Riscrivere la parabola in forma canonica
L'equazione è:

\[
y = x^2 - 4x + 4
\]

Completando il quadrato, possiamo riscriverla come \( (x - 2)^2 \). Procediamo a farlo.L'equazione della parabola, riscritta completando il quadrato, diventa:

\[
y = (x - 2)^2
\]

Questa è la **forma canonica** della parabola, dove:

- Il **vertice** si trova in \( (2, 0) \).
  
### Passo 2: Determinazione del fuoco e della direttrice

Per una parabola nella forma \( y = a(x - h)^2 + k \), la distanza focale è data da \( \frac{1}{4a} \). Qui, \( a = 1 \), quindi la distanza focale è \( \frac{1}{4} \).

- **Fuoco**: Il fuoco si trova lungo l'asse di simmetria della parabola (cioè lungo la linea verticale \( x = 2 \)), ad una distanza di \( \frac{1}{4} \) unità sopra il vertice. Quindi, il fuoco si trova nel punto \( \left( 2, \frac{1}{4} \right) \).

- **Direttrice**: La direttrice è la retta orizzontale situata alla stessa distanza \( \frac{1}{4} \) sotto il vertice. Quindi, la direttrice è la retta \( y = -\frac{1}{4} \).

### Risultati:
- **Vertice**: \( (2, 0) \)
- **Fuoco**: \( \left( 2, \frac{1}{4} \right) \)
- **Direttrice**: \( y = -\frac{1}{4} \)

Se hai domande o desideri ulteriori dettagli, fammi sapere!

Ecco alcune domande correlate:

1. Come si calcola la distanza focale di una parabola?
2. Qual è la relazione tra la direttrice e il fuoco di una parabola?
3. Come si determina l'asse di simmetria di una parabola?
4. Quali sono le proprietà geometriche di una parabola con asse verticale?
5. Come cambia la forma di una parabola al variare del coefficiente \(a\) nell'equazione canonica?

**Tip**: Il completamento del quadrato è una tecnica utile per riscrivere equazioni quadratiche nella forma canonica e identificare rapidamente il vertice di una parabola.

Explore how to find the vertex, focus, and directrix of the parabola given by the equation y = x^2 - 4x + 4. This detailed explanation covers transforming the equation to vertex form, identifying key points such as the vertex at (2, 0), the focus at (2, 0.25), and the directrix y = -0.25. Suitable for high school students learning about parabolas and quadratic equations.

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