已知tan2a=3, 且a∈(-π/2, 0), 利用弦化切的方法求(3sina+cosa)/[6sina+(2√10)cosa]的值.

已知 \(\tan 2a = 3\)，且 \(a \in (-\frac{\pi}{2}, 0)\)。

设 \(t = \tan a\)，则 \(\tan 2a = \frac{2t}{1 - t^2} = 3\)。

解方程：

\[
2t = 3(1 - t^2)
\]

\[
3t^2 + 2t - 3 = 0
\]

使用求根公式 \(t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)，其中 \(a = 3\), \(b = 2\), \(c = -3\)：

\[
t = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3)}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm \sqrt{40}}{6} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{10}}{6}
\]

\[
t = \frac{-1 \pm \sqrt{10}}{3}
\]

选择 \(a \in (-\frac{\pi}{2}, 0)\) 时，\(t < 0\)，所以 \(t = \frac{-1 - \sqrt{10}}{3}\)。

利用弦化切公式，设 \(s = \sin a\) 和 \(c = \cos a\)：

\[
t = \frac{s}{c} = \frac{-1 - \sqrt{10}}{3}
\]

于是 \(s = -c - \frac{\sqrt{10}}{3}c = -c\left(1 + \frac{\sqrt{10}}{3}\right)\)。

现在求 \(\frac{3s + c}{6s + 2\sqrt{10}c}\)：

分子：

\[
3s + c = 3(-c)(1 + \frac{\sqrt{10}}{3}) + c = -3c - \sqrt{10}c + c = (-2 - \sqrt{10})c
\]

分母：

\[
6s + 2\sqrt{10}c = 6(-c)(1 + \frac{\sqrt{10}}{3}) + 2\sqrt{10}c = -6c - 2\sqrt{10}c + 2\sqrt{10}c = -6c
\]

所以：

\[
\frac{3s + c}{6s + 2\sqrt{10}c} = \frac{(-2 - \sqrt{10})c}{-6c} = \frac{2 + \sqrt{10}}{6} = \frac{1 + \sqrt{10}/2}{3}
\]

因此，该式的值为：

\[
\frac{1 + \sqrt{10}/2}{3}
\]

你有其他问题吗？以下是一些你可以问的问题：

1. 如何使用弦化切公式？
2. 什么是切线函数的导数？
3. 如何求解三角方程？
4. 什么是三角恒等式？
5. 如何计算三角函数的值？

提示：在解三角方程时，注意角度范围，以确定正确的解。

Learn how to solve the expression (3sin(a) + cos(a)) / [6sin(a) + 2sqrt(10)cos(a)] using the double angle and chord and tangent formulas, given tan(2a) = 3 and a ∈ (-π/2, 0). This problem involves advanced trigonometric concepts suitable for advanced high school students.

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