resuelve esta incognita y encuentra su valor :  x(3x+5)=8−(6x+2) explicamelo deyalladamente

Para resolver la incógnita en la ecuación \( x(3x + 5) = 8 - (6x + 2) \), vamos a seguir los pasos detalladamente.

### Paso 1: Expandir los términos en ambos lados de la ecuación

1. **Expandir el lado izquierdo**: \( x(3x + 5) \)
   \[
   x \cdot 3x + x \cdot 5 = 3x^2 + 5x
   \]

   Así que el lado izquierdo de la ecuación ahora es \( 3x^2 + 5x \).

2. **Expandir el lado derecho**: \( 8 - (6x + 2) \)
   \[
   8 - 6x - 2 = 6 - 6x
   \]

   El lado derecho de la ecuación ahora es \( 6 - 6x \).

Por lo tanto, ahora la ecuación es:
\[
3x^2 + 5x = 6 - 6x
\]

### Paso 2: Mover todos los términos a un lado de la ecuación

Vamos a mover todos los términos al lado izquierdo para que la ecuación quede igualada a cero.

\[
3x^2 + 5x + 6x - 6 = 0
\]

Agrupando términos semejantes:
\[
3x^2 + 11x - 6 = 0
\]

### Paso 3: Resolver la ecuación cuadrática

Ahora tenemos una ecuación cuadrática:
\[
3x^2 + 11x - 6 = 0
\]
Esta es una ecuación de la forma \( ax^2 + bx + c = 0 \), donde:
- \( a = 3 \)
- \( b = 11 \)
- \( c = -6 \)

Para resolverla, usaremos la **fórmula general**:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Sustituyendo los valores de \( a \), \( b \) y \( c \):

\[
x = \frac{-11 \pm \sqrt{11^2 - 4(3)(-6)}}{2(3)}
\]
\[
x = \frac{-11 \pm \sqrt{121 + 72}}{6}
\]
\[
x = \frac{-11 \pm \sqrt{193}}{6}
\]

### Paso 4: Solucionar las raíces

La raíz cuadrada de 193 no es un número exacto, pero podemos dejar la solución en forma exacta o aproximarla.

**Forma exacta**:
\[
x = \frac{-11 + \sqrt{193}}{6} \quad \text{o} \quad x = \frac{-11 - \sqrt{193}}{6}
\]

**Forma aproximada**:
\[
x_1 \approx \frac{-11 + 13.89}{6} = \frac{2.89}{6} \approx 0.48
\]
\[
x_2 \approx \frac{-11 - 13.89}{6} = \frac{-24.89}{6} \approx -4.15
\]

### Respuesta Final:
Los valores aproximados de \( x \) son:
\[
x_1 \approx 0.48 \quad \text{y} \quad x_2 \approx -4.15
\]

### Explicación:
Hemos expandido ambos lados de la ecuación, luego agrupamos todos los términos en un lado para formar una ecuación cuadrática estándar. Utilizando la fórmula cuadrática, calculamos las raíces de la ecuación.

---

¿Te gustaría más detalles sobre alguno de los pasos? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Qué es una ecuación cuadrática y cuándo se aplica la fórmula general?
2. ¿Cómo se calcula la raíz cuadrada de números que no son cuadrados perfectos?
3. ¿Qué otros métodos existen para resolver ecuaciones cuadráticas además de la fórmula general?
4. ¿Cómo afectan los signos de \( a \), \( b \), y \( c \) a la forma de la parábola representada por una ecuación cuadrática?
5. ¿Qué es la discriminante y cómo afecta al número de soluciones de una ecuación cuadrática?

**Tip**: Al resolver ecuaciones cuadráticas, es útil conocer las propiedades de la discriminante \( b^2 - 4ac \) para predecir la naturaleza de las raíces (reales o complejas).

Aprende cómo resolver la ecuación cuadrática 3x^2 + 11x - 6 con una solución detallada paso a paso. Este problema cubre conceptos algebraicos clave, incluyendo la fórmula cuadrática y el teorema de la fórmula cuadrática. Adecuado para estudiantes en Grados 10-12.

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