2 و 3 رو میتونی بیشتر توضیح بدی آخرش رو

بله، بیایید موارد 2 و 3 را به صورت دقیق‌تر بررسی کنیم و انتهای هر دو مورد را بیشتر توضیح دهیم.

### 2. \( x \int_0^x e^{-xt} \cos t \, dt \)

ابتدا فرض می‌کنیم \( u(t) = 1 \):
\[ x \int_0^x e^{-xt} \cos t \, dt \]

استفاده از خاصیت خطی بودن تبدیل لاپلاس:
\[ \mathcal{L}\left\{ \int_0^x f(t) \, dt \right\} = \frac{F(s)}{s} \]

برای عبارت اصلی، از تبدیل لاپلاس استفاده می‌کنیم. فرض می‌کنیم که تبدیل لاپلاس \(\int_0^x e^{-xt} \cos t \, dt\) برابر است با \(F(s)\):
\[ \mathcal{L}\left\{ x \int_0^x e^{-xt} \cos t \, dt \right\} = \mathcal{L}\left\{ x \right\} \cdot \mathcal{L}\left\{ \int_0^x e^{-xt} \cos t \, dt \right\} = \mathcal{L}\left\{ x \right\} \cdot \frac{F(s)}{s} \]

تبدیل لاپلاس تابع \(x\) برابر است با:
\[ \mathcal{L}\left\{ x \right\} = \frac{1}{s^2} \]

برای پیدا کردن \( F(s) \)، تبدیل لاپلاس انتگرال را محاسبه می‌کنیم:
\[ \mathcal{L}\left\{ \int_0^x e^{-xt} \cos t \, dt \right\} = \mathcal{L}\left\{ e^{-xt} \cos t \right\} = \int_0^\infty e^{-st} \left( e^{-xt} \cos t \right) dt \]

تبدیل لاپلاس \( e^{-xt} \cos t \) را می‌توان به صورت زیر نوشت:
\[ \mathcal{L}\left\{ e^{-xt} \cos t \right\} = \frac{s}{s^2 + 1} \]

بنابراین:
\[ F(s) = \frac{s}{s^2 + 1} \]

و در نهایت تبدیل لاپلاس عبارت اصلی به صورت زیر است:
\[ \mathcal{L}\left\{ x \int_0^x e^{-xt} \cos t \, dt \right\} = \frac{1}{s^2} \cdot \frac{s}{s^2 + 1} = \frac{1}{s^2 (s^2 + 1)} \]

### 3. \( e^{-x} \int_0^x (x-t)^2 \cos^2 t \, dt \)

ابتدا از خاصیت جابجایی استفاده می‌کنیم:
\[ \mathcal{L}\left\{ e^{-x} \int_0^x (x-t)^2 \cos^2 t \, dt \right\} = \frac{1}{s+1} \mathcal{L}\left\{ \int_0^x (x-t)^2 \cos^2 t \, dt \right\} \]

برای عبارت \( \int_0^x (x-t)^2 \cos^2 t \, dt \)، ابتدا تبدیل لاپلاس \((x-t)^2 \cos^2 t\) را محاسبه می‌کنیم. برای این منظور، از تجزیه \(\cos^2 t\) استفاده می‌کنیم:
\[ \cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2} \]

بنابراین:
\[ (x-t)^2 \cos^2 t = (x-t)^2 \left( \frac{1 + \cos 2t}{2} \right) = \frac{1}{2} (x-t)^2 + \frac{1}{2} (x-t)^2 \cos 2t \]

تبدیل لاپلاس \((x-t)^2\):
\[ \mathcal{L}\left\{ (x-t)^2 \right\} = \frac{2}{s^3} \]

تبدیل لاپلاس \((x-t)^2 \cos 2t\):
\[ \mathcal{L}\left\{ (x-t)^2 \cos 2t \right\} = \frac{s}{(s^2 + 4)^2} \]

بنابراین:
\[ \mathcal{L}\left\{ (x-t)^2 \cos^2 t \right\} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{s^3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{s}{(s^2 + 4)^2} = \frac{1}{s^3} + \frac{s}{2(s^2 + 4)^2} \]

در نهایت:
\[ \mathcal{L}\left\{ e^{-x} \int_0^x (x-t)^2 \cos^2 t \, dt \right\} = \frac{1}{s+1} \left( \frac{1}{s} \cdot \left( \frac{1}{s^3} + \frac{s}{2(s^2 + 4)^2} \right) \right) \]
\[ = \frac{1}{s+1} \left( \frac{1}{s^4} + \frac{1}{2s(s^2 + 4)^2} \right) \]

این تبدیل لاپلاس نهایی برای عبارت سوم است.

### نتیجه نهایی:

#### 1. تبدیل لاپلاس \( \frac{1 - e^{-2x}}{2x} \):
\[ \mathcal{L}\left\{ \frac{1 - e^{-2x}}{2x} \right\} = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{s+2}{s}\right) \]

#### 2. تبدیل لاپلاس \( x \int_0^x e^{-xt} \cos t \, dt \):
\[ \mathcal{L}\left\{ x \int_0^x e^{-xt} \cos t \, dt \right\} = \frac{1}{s^2 (s^2 + 1)} \]

#### 3. تبدیل لاپلاس \( e^{-x} \int_0^x (x-t)^2 \cos^2 t \, dt \):
\[ \mathcal{L}\left\{ e^{-x} \int_0^x (x-t)^2 \cos^2 t \, dt \right\} = \frac{1}{s+1} \left( \frac{1}{s^4} + \frac{1}{2s(s^2 + 4)^2} \right) \]

آیا سوال دیگری دارید یا می‌خواهید به تمرین‌های بعدی بپردازیم؟

Explore advanced Laplace transform problems with detailed step-by-step solutions. This page covers integral calculus and the Laplace transform, including the linearity property of the transform. Suitable for advanced students and professionals.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation