بله، بیایید موارد 2 و 3 را به صورت دقیق‌تر بررسی کنیم و انتهای هر دو مورد را بیشتر توضیح دهیم.

2. $x \int_0^x e^{-xt} \cos t \, dt$

ابتدا فرض می‌کنیم $u(t) = 1$: $x \int_0^x e^{-xt} \cos t \, dt$

استفاده از خاصیت خطی بودن تبدیل لاپلاس: $\mathcal{L}\left\{ \int_0^x f(t) \, dt \right\} = \frac{F(s)}{s}$

برای عبارت اصلی، از تبدیل لاپلاس استفاده می‌کنیم. فرض می‌کنیم که تبدیل لاپلاس $\int_0^x e^{-xt} \cos t \, dt$ برابر است با $F(s)$: $\mathcal{L}\left\{ x \int_0^x e^{-xt} \cos t \, dt \right\} = \mathcal{L}\left\{ x \right\} \cdot \mathcal{L}\left\{ \int_0^x e^{-xt} \cos t \, dt \right\} = \mathcal{L}\left\{ x \right\} \cdot \frac{F(s)}{s}$

تبدیل لاپلاس تابع $x$ برابر است با: $\mathcal{L}\left\{ x \right\} = \frac{1}{s^2}$

برای پیدا کردن $F(s)$، تبدیل لاپلاس انتگرال را محاسبه می‌کنیم: $\mathcal{L}\left\{ \int_0^x e^{-xt} \cos t \, dt \right\} = \mathcal{L}\left\{ e^{-xt} \cos t \right\} = \int_0^\infty e^{-st} \left( e^{-xt} \cos t \right) dt$

تبدیل لاپلاس $e^{-xt} \cos t$ را می‌توان به صورت زیر نوشت: $\mathcal{L}\left\{ e^{-xt} \cos t \right\} = \frac{s}{s^2 + 1}$

بنابراین: $F(s) = \frac{s}{s^2 + 1}$

و در نهایت تبدیل لاپلاس عبارت اصلی به صورت زیر است: $\mathcal{L}\left\{ x \int_0^x e^{-xt} \cos t \, dt \right\} = \frac{1}{s^2} \cdot \frac{s}{s^2 + 1} = \frac{1}{s^2 (s^2 + 1)}$

3. $e^{-x} \int_0^x (x-t)^2 \cos^2 t \, dt$

ابتدا از خاصیت جابجایی استفاده می‌کنیم: $\mathcal{L}\left\{ e^{-x} \int_0^x (x-t)^2 \cos^2 t \, dt \right\} = \frac{1}{s+1} \mathcal{L}\left\{ \int_0^x (x-t)^2 \cos^2 t \, dt \right\}$

برای عبارت $\int_0^x (x-t)^2 \cos^2 t \, dt$، ابتدا تبدیل لاپلاس $(x-t)^2 \cos^2 t$ را محاسبه می‌کنیم. برای این منظور، از تجزیه $\cos^2 t$ استفاده می‌کنیم: $\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}$

بنابراین: $(x-t)^2 \cos^2 t = (x-t)^2 \left( \frac{1 + \cos 2t}{2} \right) = \frac{1}{2} (x-t)^2 + \frac{1}{2} (x-t)^2 \cos 2t$

تبدیل لاپلاس $(x-t)^2$: $\mathcal{L}\left\{ (x-t)^2 \right\} = \frac{2}{s^3}$

تبدیل لاپلاس $(x-t)^2 \cos 2t$: $\mathcal{L}\left\{ (x-t)^2 \cos 2t \right\} = \frac{s}{(s^2 + 4)^2}$

بنابراین: $\mathcal{L}\left\{ (x-t)^2 \cos^2 t \right\} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{s^3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{s}{(s^2 + 4)^2} = \frac{1}{s^3} + \frac{s}{2(s^2 + 4)^2}$

در نهایت: $\mathcal{L}\left\{ e^{-x} \int_0^x (x-t)^2 \cos^2 t \, dt \right\} = \frac{1}{s+1} \left( \frac{1}{s} \cdot \left( \frac{1}{s^3} + \frac{s}{2(s^2 + 4)^2} \right) \right)$ $= \frac{1}{s+1} \left( \frac{1}{s^4} + \frac{1}{2s(s^2 + 4)^2} \right)$

این تبدیل لاپلاس نهایی برای عبارت سوم است.

نتیجه نهایی:

1. تبدیل لاپلاس $\frac{1 - e^{-2x}}{2x}$:

$\mathcal{L}\left\{ \frac{1 - e^{-2x}}{2x} \right\} = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{s+2}{s}\right)$

2. تبدیل لاپلاس $x \int_0^x e^{-xt} \cos t \, dt$:

$\mathcal{L}\left\{ x \int_0^x e^{-xt} \cos t \, dt \right\} = \frac{1}{s^2 (s^2 + 1)}$

3. تبدیل لاپلاس $e^{-x} \int_0^x (x-t)^2 \cos^2 t \, dt$:

$\mathcal{L}\left\{ e^{-x} \int_0^x (x-t)^2 \cos^2 t \, dt \right\} = \frac{1}{s+1} \left( \frac{1}{s^4} + \frac{1}{2s(s^2 + 4)^2} \right)$

آیا سوال دیگری دارید یا می‌خواهید به تمرین‌های بعدی بپردازیم؟