حل تمرین ۴ (ب)

معادله:

$y'' + 2y' + 5y = 3e^{-x} \sin(x)$ با شرایط اولیه $y(0) = 0$ و $y'(0) = 3$.

قدم 1: اعمال تبدیل لاپلاس

تبدیل لاپلاس دو طرف معادله دیفرانسیل را انجام می‌دهیم: $\mathcal{L}\{y'' + 2y' + 5y\} = \mathcal{L}\{3e^{-x} \sin(x)\}$

خواص تبدیل لاپلاس: $\mathcal{L}\{y''\} = s^2 Y(s) - sy(0) - y'(0)$ $\mathcal{L}\{2y'\} = 2(sY(s) - y(0))$ $\mathcal{L}\{5y\} = 5Y(s)$ $\mathcal{L}\{3e^{-x} \sin(x)\} = \frac{3}{(s+1)^2 + 1}$

قدم 2: جایگذاری شرایط اولیه و ساده‌سازی معادله

شرایط اولیه را جایگذاری می‌کنیم: $y(0) = 0$ $y'(0) = 3$

معادله تبدیل لاپلاس: $s^2 Y(s) - sy(0) - y'(0) + 2(sY(s) - y(0)) + 5Y(s) = \frac{3}{(s+1)^2 + 1}$

جایگذاری شرایط اولیه: $s^2 Y(s) - s \cdot 0 - 3 + 2(sY(s) - 0) + 5Y(s) = \frac{3}{(s+1)^2 + 1}$

ساده‌سازی: $(s^2 + 2s + 5)Y(s) - 3 = \frac{3}{(s+1)^2 + 1}$ $(s^2 + 2s + 5)Y(s) = \frac{3}{(s+1)^2 + 1} + 3$ $Y(s) = \frac{\frac{3}{(s+1)^2 + 1} + 3}{s^2 + 2s + 5}$

قدم 3: تجزیه کسرها

برای یافتن $Y(s)$ به تجزیه کسرها نیاز داریم: $Y(s) = \frac{3}{((s+1)^2 + 1)(s^2 + 2s + 5)} + \frac{3}{s^2 + 2s + 5}$

قدم 4: تبدیل معکوس لاپلاس

برای پیدا کردن تابع اصلی $y(t)$، باید از تبدیل معکوس لاپلاس استفاده کنیم.

بخش 2 تمرینات

(1) تبدیل لاپلاس توابع زیر را بیابید:

1. $\frac{1 - e^{-2x}}{2x}$
2. $x \int_{0}^{x} e^{-x} u(t) \cos t \, dt$
3. $e^{-x} \int_{0}^{x} (x - t)^2 \cos^2 t \, dt$

(2) تبدیل معکوس لاپلاس توابع زیر را بیابید:

1. $\cot^{-1}(s + 1)$
2. $\frac{e^{-s}}{(s^2 + 4)^2}$
3. $\frac{s - 6}{s^3 - 2s^2 + 6s}$

تبدیل لاپلاس

برای یافتن تبدیل لاپلاس این توابع، از جداول تبدیل لاپلاس و خواص آنها استفاده می‌کنیم.

(1) تبدیل لاپلاس

1. $\frac{1 - e^{-2x}}{2x}$ $\mathcal{L}\left\{\frac{1 - e^{-2x}}{2x}\right\} = \frac{1}{2} \left( \mathcal{L}\left\{\frac{1}{x}\right\} - \mathcal{L}\left\{\frac{e^{-2x}}{x}\right\} \right)$

2. $x \int_{0}^{x} e^{-x} u(t) \cos t \, dt$ این تبدیل نیاز به استفاده از انتگرال کانولوشن دارد.

3. $e^{-x} \int_{0}^{x} (x - t)^2 \cos^2 t \, dt$ این تبدیل نیز نیاز به استفاده از انتگرال کانولوشن دارد.

(2) تبدیل معکوس لاپلاس

1. $\cot^{-1}(s + 1)$ این تابع نیاز به تجزیه و تبدیل معکوس دارد.

2. $\frac{e^{-s}}{(s^2 + 4)^2}$ استفاده از جداول لاپلاس برای تبدیل معکوس.

3. $\frac{s - 6}{s^3 - 2s^2 + 6s}$ نیاز به تجزیه کسرها و سپس استفاده از جداول لاپلاس.

جزئیات بیشتر

آیا مایلید جزئیات بیشتری برای هر یک از این تبدیلات و انتگرال‌ها داشته باشید؟

سوالات پیشنهادی

1. چطور تجزیه کسری را انجام دهیم؟
2. خواص تبدیل لاپلاس چیست؟
3. چطور تبدیل معکوس لاپلاس را پیدا کنیم؟
4. چطور سیستم معادلات دیفرانسیل خطی را با استفاده از تبدیل لاپلاس حل کنیم؟
5. چطور معادلات دیفرانسیل غیر همگن را با استفاده از تبدیل لاپلاس حل کنیم؟

نکته

به یاد داشته باشید که شرایط اولیه در استفاده از تبدیل لاپلاس برای حل معادلات دیفرانسیل بسیار مهم هستند، زیرا آن‌ها معادله تبدیل شده را ساده‌تر کرده و حل برای $Y(s)$ را آسان‌تر می‌کنند.