جواب سوال 2 رو منظورم است که این بخشی از جواب آن هستش

بسیار خوب، اجازه دهید سوال 2 را به صورت کامل و دقیق حل کنیم.

### سوال 2: تبدیل لاپلاس \( x \int_0^x e^{-xt} u(t) \cos t \, dt \)

برای این سوال، فرض می‌کنیم \( u(t) = 1 \) باشد. بنابراین، عبارت به صورت زیر ساده می‌شود:
\[ x \int_0^x e^{-xt} \cos t \, dt \]

#### محاسبه تبدیل لاپلاس

1. ابتدا تبدیل لاپلاس \( x \) را محاسبه می‌کنیم:
\[ \mathcal{L}\{x\} = \frac{1}{s^2} \]

2. سپس تبدیل لاپلاس \( \int_0^x e^{-xt} \cos t \, dt \) را محاسبه می‌کنیم. برای این منظور، تبدیل لاپلاس \( e^{-xt} \cos t \) را بدست می‌آوریم.

تبدیل لاپلاس \( e^{-xt} \cos t \) به صورت زیر است:
\[ \mathcal{L}\{e^{-xt} \cos t\} = \frac{s}{s^2 + 1} \]

3. با استفاده از خاصیت انتگرال تبدیل لاپلاس:
\[ \mathcal{L}\left\{ \int_0^x e^{-xt} \cos t \, dt \right\} = \frac{1}{s} \mathcal{L}\{e^{-xt} \cos t\} = \frac{1}{s} \cdot \frac{s}{s^2 + 1} = \frac{1}{s^2 + 1} \]

4. در نهایت، تبدیل لاپلاس کل عبارت \( x \int_0^x e^{-xt} \cos t \, dt \) به صورت زیر است:
\[ \mathcal{L}\left\{ x \int_0^x e^{-xt} \cos t \, dt \right\} = \frac{1}{s^2} \cdot \frac{1}{s^2 + 1} = \frac{1}{s^2 (s^2 + 1)} \]

### نتیجه نهایی

تبدیل لاپلاس \( x \int_0^x e^{-xt} u(t) \cos t \, dt \) برابر است با:
\[ \mathcal{L}\left\{ x \int_0^x e^{-xt} \cos t \, dt \right\} = \frac{1}{s^2 (s^2 + 1)} \]

این نتیجه نهایی و دقیق محاسبه تبدیل لاپلاس برای این عبارت است.

آیا سوال دیگری دارید یا می‌خواهید به تمرین‌های بعدی بپردازیم؟

Learn how to calculate the Laplace transform of the expression x * integral from 0 to x of e^(-xt) * cos(t) dt. This problem involves the application of Laplace transform principles and is suitable for advanced mathematics enthusiasts.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation