L{e^(−xt).cost} این رو بیشتر توضیح میدی؟

بله، حتماً. تبدیل لاپلاس \(e^{-xt} \cos t\) را بیشتر توضیح می‌دهم.

### تعریف تبدیل لاپلاس

تبدیل لاپلاس یک تابع \(f(t)\) به صورت زیر تعریف می‌شود:
\[ \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt \]

### محاسبه تبدیل لاپلاس \(e^{-xt} \cos t\)

برای محاسبه تبدیل لاپلاس \(e^{-xt} \cos t\)، ابتدا تابع \(f(t) = e^{-xt} \cos t\) را در تعریف تبدیل لاپلاس جایگذاری می‌کنیم:
\[ \mathcal{L}\{e^{-xt} \cos t\} = \int_0^\infty e^{-st} (e^{-xt} \cos t) \, dt \]

با ترکیب نمایی‌ها، عبارت به صورت زیر درمی‌آید:
\[ \mathcal{L}\{e^{-xt} \cos t\} = \int_0^\infty e^{-(s+x)t} \cos t \, dt \]

### استفاده از جدول تبدیل لاپلاس

بر اساس جداول تبدیل لاپلاس، تبدیل لاپلاس \(\cos(bt)\) برابر است با:
\[ \mathcal{L}\{\cos(bt)\} = \frac{s}{s^2 + b^2} \]

در اینجا، \(b = 1\) و به جای \(s\) داریم \(s + x\) به عنوان ضریب نمایی:
\[ \mathcal{L}\{e^{-xt} \cos t\} = \mathcal{L}\{\cos t\} \bigg|_{s \rightarrow s+x} \]

با جایگذاری:
\[ \mathcal{L}\{e^{-xt} \cos t\} = \frac{s + x}{(s + x)^2 + 1} \]

### نتیجه نهایی

بنابراین، تبدیل لاپلاس \(e^{-xt} \cos t\) به صورت زیر است:
\[ \mathcal{L}\{e^{-xt} \cos t\} = \frac{s + x}{(s + x)^2 + 1} \]

این نتیجه نشان می‌دهد که چگونه تابع نمایی ضرب در تابع مثلثاتی \(\cos t\) در حوزه \(s\) تبدیل به یک کسر می‌شود که شامل \(s\) و \(x\) است.

آیا سوال دیگری دارید یا می‌خواهید به تمرین‌های بعدی بپردازیم؟

Explore the Laplace transform of the function e^(-xt) cos t in detail. This problem delves into advanced topics including Laplace transform properties, exponential and trigonometric functions. Suitable for advanced undergraduate students and professionals.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation