حل تمرین ۴ (الف)

معادله دیفرانسیل: $y'' + 3y' - y = x$ با شرایط اولیه $y(0) = 1$ و $y'(0) = -1$.

قدم 1: اعمال تبدیل لاپلاس

معادله دیفرانسیل را تبدیل لاپلاس می‌کنیم: $\mathcal{L}\{y'' + 3y' - y\} = \mathcal{L}\{x\}$

استفاده از خواص تبدیل لاپلاس: $\mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)$ $\mathcal{L}\{3y'\} = 3(sY(s) - y(0))$ $\mathcal{L}\{y\} = Y(s)$

معادله تبدیل لاپلاس به صورت زیر می‌شود: $s^2Y(s) - s \cdot 1 - (-1) + 3[sY(s) - 1] - Y(s) = \frac{1}{s^2}$

قدم 2: ساده‌سازی معادله

معادله را ساده می‌کنیم: $(s^2 + 3s - 1)Y(s) - s + 1 - 3 = \frac{1}{s^2}$ $(s^2 + 3s - 1)Y(s) = \frac{1}{s^2} + s - 2$ $Y(s) = \frac{\frac{1}{s^2} + s - 2}{s^2 + 3s - 1}$

قدم 3: تجزیه کسرها

برای بدست آوردن تابع عکس لاپلاس $Y(s)$ نیاز به تجزیه کسری داریم: $\frac{\frac{1}{s^2} + s - 2}{s^2 + 3s - 1}$

قدم 4: تبدیل معکوس لاپلاس

تجزیه کسرها و یافتن تابع $y(t)$ با استفاده از تبدیل معکوس لاپلاس: این مرحله ممکن است به طولانی باشد و نیاز به محاسبات جزئی‌تر داشته باشد.

حل تمرین ۴ (ب)

معادله دیفرانسیل: $y'' + 2y' + 5y = 3e^{-x} \sin(x)$ با شرایط اولیه $y(0) = 0$ و $y'(0) = 3$.

قدم 1: اعمال تبدیل لاپلاس

معادله دیفرانسیل را تبدیل لاپلاس می‌کنیم: $\mathcal{L}\{y'' + 2y' + 5y\} = \mathcal{L}\{3e^{-x} \sin(x)\}$

استفاده از خواص تبدیل لاپلاس: $\mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)$ $\mathcal{L}\{2y'\} = 2(sY(s) - y(0))$ $\mathcal{L}\{5y\} = 5Y(s)$ $\mathcal{L}\{3e^{-x} \sin(x)\} = \frac{3}{(s+1)^2 + 1}$

قدم 2: ساده‌سازی معادله

معادله را ساده می‌کنیم: $s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) + 2(sY(s) - y(0)) + 5Y(s) = \frac{3}{(s+1)^2 + 1}$

با جایگذاری شرایط اولیه: $(s^2 + 2s + 5)Y(s) = \frac{3}{(s+1)^2 + 1}$ $Y(s) = \frac{3}{((s+1)^2 + 1)(s^2 + 2s + 5)}$

قدم 3: تجزیه کسرها

تجزیه کسری $\frac{3}{((s+1)^2 + 1)(s^2 + 2s + 5)}$

قدم 4: تبدیل معکوس لاپلاس

تجزیه کسرها و یافتن تابع $y(t)$ با استفاده از تبدیل معکوس لاپلاس: این مرحله ممکن است به طولانی باشد و نیاز به محاسبات جزئی‌تر داشته باشد.

آیا مایلید جزئیات بیشتری برای حل هر یک از معادلات و تجزیه کسرها داشته باشید؟

سوالات پیشنهادی

1. چطور تجزیه کسری را انجام دهیم؟
2. خواص تبدیل لاپلاس چیست؟
3. چطور تبدیل معکوس لاپلاس را پیدا کنیم؟
4. چطور سیستم معادلات دیفرانسیل خطی را با استفاده از تبدیل لاپلاس حل کنیم؟
5. چطور معادلات دیفرانسیل غیر همگن را با استفاده از تبدیل لاپلاس حل کنیم؟

نکته

به یاد داشته باشید که شرایط اولیه در استفاده از تبدیل لاپلاس برای حل معادلات دیفرانسیل بسیار مهم هستند، زیرا آن‌ها معادله تبدیل شده را ساده‌تر کرده و حل برای $Y(s)$ را آسان‌تر می‌کنند.