به نظرم جواب نهایی اشتباه است

بله، اجازه دهید محاسبات را دوباره و به دقت انجام دهیم تا اطمینان حاصل کنیم که جواب نهایی صحیح است.

### تعریف تبدیل لاپلاس

تبدیل لاپلاس یک تابع \(f(t)\) به صورت زیر تعریف می‌شود:
\[ \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt \]

### محاسبه تبدیل لاپلاس \(e^{-xt} \cos t\)

برای محاسبه تبدیل لاپلاس \(e^{-xt} \cos t\)، ابتدا تابع \(f(t) = e^{-xt} \cos t\) را در تعریف تبدیل لاپلاس جایگذاری می‌کنیم:
\[ \mathcal{L}\{e^{-xt} \cos t\} = \int_0^\infty e^{-st} (e^{-xt} \cos t) \, dt \]

با ترکیب نمایی‌ها، عبارت به صورت زیر درمی‌آید:
\[ \mathcal{L}\{e^{-xt} \cos t\} = \int_0^\infty e^{-(s+x)t} \cos t \, dt \]

### استفاده از فرمول تبدیل لاپلاس برای \(e^{at} \cos(bt)\)

برای تبدیل لاپلاس \(e^{at} \cos(bt)\) از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:
\[ \mathcal{L}\{e^{at} \cos(bt)\} = \frac{s - a}{(s - a)^2 + b^2} \]

در اینجا \(a = -x\) و \(b = 1\)، بنابراین:
\[ \mathcal{L}\{e^{-xt} \cos t\} = \frac{s + x}{(s + x)^2 + 1} \]

### نتیجه نهایی

بنابراین، تبدیل لاپلاس \(e^{-xt} \cos t\) به صورت زیر است:
\[ \mathcal{L}\{e^{-xt} \cos t\} = \frac{s + x}{(s + x)^2 + 1} \]

این نتیجه صحیح است و از فرمول استاندارد تبدیل لاپلاس برای ترکیب توابع نمایی و مثلثاتی بدست آمده است.

آیا این جواب مورد تایید شما است؟ یا سوال دیگری دارید؟

Learn how to calculate the Laplace transform of the function e^{-xt} \cos t step-by-step. This problem involves applying the Laplace transform definition and properties to exponential and trigonometric functions. Suitable for advanced undergraduate students and beyond.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation