https://r2.erweima.ai/mathbot/image/1718541101933mpx2k3sg.png

منون بابت آپلود تصویر واضح‌تر. عبارت مورد نظر به این صورت است:

\[ x \int_0^x e^{-xt} u(t) \cos t \, dt \]

که \(u(t)\) تابع پله واحد است و می‌تواند در این مسئله به \(u_\pi(t)\) تغییر کند، ولی برای سادگی، فرض می‌کنیم \(u(t) = 1\) برای \(0 \leq t \leq \pi\).

### حل کامل تبدیل لاپلاس

#### 1. حل انتگرال:

ابتدا توجه می‌کنیم که تابع \(u(t)\) به عنوان یک تابع پله می‌تواند تاثیری در بازه انتگرال داشته باشد. بنابراین، برای سادگی، \(u(t)\) را به صورت تابع پله واحد در نظر می‌گیریم:
\[ u_\pi(t) = 1 \quad \text{برای} \quad 0 \leq t \leq \pi \]

این باعث می‌شود که مسئله ما به صورت زیر ساده شود:
\[ x \int_0^x e^{-xt} \cos t \, dt \]

#### 2. تبدیل لاپلاس:

با توجه به خاصیت خطی بودن تبدیل لاپلاس، می‌توانیم تبدیل لاپلاس را برای هر جز از عبارت جداگانه اعمال کنیم.

ابتدا، تبدیل لاپلاس \(x\) برابر با \(\frac{1}{s^2}\) است:
\[ \mathcal{L}\left\{ x \right\} = \frac{1}{s^2} \]

سپس، باید تبدیل لاپلاس انتگرال را محاسبه کنیم:
\[ \mathcal{L}\left\{ \int_0^x e^{-xt} \cos t \, dt \right\} = \frac{1}{s} \mathcal{L}\left\{ e^{-xt} \cos t \right\} \]

استفاده از جداول تبدیل لاپلاس برای \( e^{-xt} \cos t \):
\[ \mathcal{L}\left\{ e^{-xt} \cos t \right\} = \frac{s}{s^2 + 1} \]

بنابراین، تبدیل لاپلاس انتگرال به صورت زیر است:
\[ \mathcal{L}\left\{ \int_0^x e^{-xt} \cos t \, dt \right\} = \frac{1}{s} \cdot \frac{s}{s^2 + 1} = \frac{1}{s(s^2 + 1)} \]

در نهایت، تبدیل لاپلاس کل عبارت به صورت زیر است:
\[ \mathcal{L}\left\{ x \int_0^x e^{-xt} \cos t \, dt \right\} = \frac{1}{s^2} \cdot \frac{1}{s(s^2 + 1)} = \frac{1}{s^3 (s^2 + 1)} \]

### نتیجه نهایی:

تبدیل لاپلاس \( x \int_0^x e^{-xt} u(t) \cos t \, dt \) برابر است با:
\[ \mathcal{L}\left\{ x \int_0^x e^{-xt} \cos t \, dt \right\} = \frac{1}{s^3 (s^2 + 1)} \]

آیا سوال دیگری دارید یا می‌خواهید به تمرین‌های بعدی بپردازیم؟

Learn how to solve the Laplace transform of x times the integral from 0 to x of e^(-xt) cos(t) with a complete solution. This problem covers integral calculus and Laplace transform concepts, including the Laplace transform formula. Suitable for advanced college-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation