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Para resolver esta ecuación, donde se nos pide hallar el valor de \( m + 7 \) si las raíces son iguales, procedemos de la siguiente manera:

### Dado:
\[
2x^2 - (m + 5)x + 8 = 0
\]

### Condición:
Las raíces son iguales si y solo si el discriminante de la ecuación cuadrática es igual a 0. El discriminante para una ecuación cuadrática de la forma \( ax^2 + bx + c = 0 \) está dado por:

\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]

Donde:
\[
a = 2, \quad b = -(m + 5), \quad c = 8
\]

### Paso 1: Igualar el discriminante a 0
Para que las raíces sean iguales, el discriminante debe ser igual a 0:

\[
\Delta = [-(m + 5)]^2 - 4(2)(8) = 0
\]

### Paso 2: Calcular y simplificar
Expandiendo el discriminante:

\[
(m + 5)^2 - 64 = 0
\]

\[
m^2 + 10m + 25 - 64 = 0
\]

\[
m^2 + 10m - 39 = 0
\]

### Paso 3: Resolver la ecuación cuadrática en \( m \)
Para resolver \( m^2 + 10m - 39 = 0 \), aplicamos la fórmula cuadrática:

\[
m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Aquí, \( a = 1 \), \( b = 10 \), y \( c = -39 \):

\[
m = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 + 4 \times 39}}{2 \times 1}
\]
\[
m = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 156}}{2}
\]
\[
m = \frac{-10 \pm \sqrt{256}}{2}
\]
\[
m = \frac{-10 \pm 16}{2}
\]

Por lo tanto:
\[
m_1 = \frac{6}{2} = 3
\]
\[
m_2 = \frac{-26}{2} = -13
\]

### Paso 4: Hallar \( m + 7 \)
Para \( m = 3 \):

\[
m + 7 = 3 + 7 = 10
\]

Para \( m = -13 \):

\[
m + 7 = -13 + 7 = -6
\]

### Conclusión:
Comparando con las opciones dadas, la respuesta correcta es \( m = 3 \), ya que \( m + 7 = 10 \) no es una opción, y por lo tanto, debemos haber cometido un error en interpretación. Consideremos los valores negativos; parece que la opción más cercana es \( m = -13 \), entonces \( m + 7 = -6 \). Respuesta correcta es opción B: -6.

¿Hay algo más que te gustaría explorar sobre este problema?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se resuelve una ecuación cuadrática usando factorización?
2. ¿Qué implica que una ecuación cuadrática tenga un discriminante negativo?
3. ¿Cómo influye el coeficiente \( c \) en las raíces de una ecuación cuadrática?
4. ¿Qué sucede si el discriminante de una ecuación cuadrática es mayor que cero?
5. ¿Cómo determinar si una ecuación cuadrática tiene raíces racionales o irracionales?

### Tip:
Cuando te piden que las raíces de una ecuación sean iguales, siempre verifica el discriminante primero, ya que esto simplifica mucho el proceso de encontrar el valor desconocido.

Aprende cómo resolver la ecuación cuadrática 2x^2 - (m + 5)x + 8 paso a paso con una solución detallada. Este problema cubre conceptos clave de álgebra, incluyendo la fórmula cuadrática y el discriminante. Adecuado para estudiantes en Grados 10-12.

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