بیشتر و جزیی تر توضیحش میدی

### مسئله 2b: پیدا کردن تبدیل لاپلاس معکوس \(\frac{s e^{-s}}{(s^2 + 4)^2}\)

برای یافتن تبدیل لاپلاس معکوس \(\frac{s e^{-s}}{(s^2 + 4)^2}\)، از قضیه شیفت دوم استفاده می‌کنیم. این قضیه به ما اجازه می‌دهد که وقتی یک تابع ضرب در \(e^{-as}\) می‌شود، تبدیل لاپلاس معکوس آن را به صورت تابع شیفت داده شده پیدا کنیم.

#### قضیه شیفت دوم:
\[
\mathcal{L}^{-1}\left\{e^{-as}F(s)\right\} = u(t-a)f(t-a)
\]

در اینجا، \(a = 1\) و \(F(s) = \frac{s}{(s^2 + 4)^2}\).

ابتدا تبدیل لاپلاس معکوس \(F(s)\) را پیدا می‌کنیم. 

#### مرحله 1: پیدا کردن تبدیل لاپلاس معکوس \(\frac{s}{(s^2 + 4)^2}\)

برای پیدا کردن تبدیل لاپلاس معکوس \(\frac{s}{(s^2 + 4)^2}\)، از جداول تبدیل لاپلاس و روش‌های شناخته شده استفاده می‌کنیم. می‌دانیم که:

\[
\mathcal{L}\left\{t \sin(at)\right\} = \frac{2as}{(s^2 + a^2)^2}
\]

بنابراین، اگر \(a = 2\) باشد:

\[
\mathcal{L}\left\{t \sin(2t)\right\} = \frac{4s}{(s^2 + 4)^2}
\]

در نتیجه:

\[
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{4s}{(s^2 + 4)^2}\right\} = t \sin(2t)
\]

با تقسیم بر 4، به دست می‌آوریم:

\[
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{(s^2 + 4)^2}\right\} = \frac{1}{4} t \sin(2t)
\]

#### مرحله 2: اعمال قضیه شیفت دوم

حال با استفاده از قضیه شیفت دوم، تبدیل لاپلاس معکوس \(\frac{s e^{-s}}{(s^2 + 4)^2}\) به صورت زیر خواهد بود:

\[
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s e^{-s}}{(s^2 + 4)^2}\right\} = u(t-1) \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{(s^2 + 4)^2}\right\}(t-1)
\]

که این معادله برابر خواهد بود با:

\[
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s e^{-s}}{(s^2 + 4)^2}\right\} = u(t-1) \frac{1}{4} (t-1) \sin(2(t-1))
\]

#### نتیجه نهایی:

\[
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s e^{-s}}{(s^2 + 4)^2}\right\} = u(t-1) \frac{1}{4} (t-1) \sin(2(t-1))
\]

این پاسخ نشان‌دهنده‌ی تابع زمانی است که برای \(t > 1\) فعال می‌شود و شکل تابع \(\frac{1}{4} (t-1) \sin(2(t-1))\) را به خود می‌گیرد.

### سوالات مرتبط برای بررسی:
1. چگونه از انتگرال معکوس لاپلاس برای یافتن تبدیل‌های پیچیده استفاده کنیم؟
2. بسط سری تیلور و کاربردهای آن در حل مسائل؟
3. خواص و قضایای تبدیل لاپلاس و کاربردهای آنها؟
4. نحوه استفاده از جداول تبدیل لاپلاس برای یافتن تبدیل‌های معکوس؟
5. بررسی دقیق روش‌های انتگرالی برای حل مسائل تبدیل لاپلاس؟

**نکته:** هنگام حل مسائل تبدیل لاپلاس، همیشه بررسی کنید که آیا می‌توان از تبدیل‌های شناخته شده و خواص استفاده کرد یا خیر.

Learn how to find the inverse Laplace transform of (s e^{-s}) / ((s^2 + 4)^2) using the shift theorem. This problem involves advanced concepts in Laplace transforms and is suitable for students studying advanced mathematics or engineering.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation