حل تمرین ۴ (الف)

معادله دیفرانسیل: $y'' + 3y' - y = x$ با شرایط اولیه $y(0) = 1$ و $y'(0) = -1$.

قدم 1: اعمال تبدیل لاپلاس

تبدیل لاپلاس دو طرف معادله دیفرانسیل را انجام می‌دهیم: $\mathcal{L}\{y'' + 3y' - y\} = \mathcal{L}\{x\}$

قدم 2: استفاده از خواص تبدیل لاپلاس

استفاده از خواص تبدیل لاپلاس برای مشتقات: $\mathcal{L}\{y''\} = s^2 Y(s) - sy(0) - y'(0)$ $\mathcal{L}\{3y'\} = 3(sY(s) - y(0))$ $\mathcal{L}\{y\} = Y(s)$ $\mathcal{L}\{x\} = \frac{1}{s^2}$

قدم 3: جایگذاری شرایط اولیه

جایگذاری شرایط اولیه در معادله: $s^2 Y(s) - s \cdot 1 - (-1) + 3[sY(s) - 1] - Y(s) = \frac{1}{s^2}$ $(s^2 + 3s - 1)Y(s) - s + 1 - 3 = \frac{1}{s^2}$ $(s^2 + 3s - 1)Y(s) - (s - 2) = \frac{1}{s^2}$ $(s^2 + 3s - 1)Y(s) = \frac{1}{s^2} + s - 2$

قدم 4: حل برای $Y(s)$

معادله را برای $Y(s)$ حل می‌کنیم: $Y(s) = \frac{\frac{1}{s^2} + s - 2}{s^2 + 3s - 1}$

قدم 5: تجزیه کسرها

تجزیه کسرها به صورت: $Y(s) = \frac{1}{s^2(s^2 + 3s - 1)} + \frac{s}{s^2 + 3s - 1} - \frac{2}{s^2 + 3s - 1}$

قدم 6: تبدیل معکوس لاپلاس

برای هر کسر تبدیل معکوس لاپلاس را می‌یابیم. این مرحله نیاز به محاسبات جزئی‌تر دارد و ممکن است به کمک جداول تبدیل لاپلاس انجام شود.

حل تمرین ۴ (ب)

معادله دیفرانسیل: $y'' + 2y' + 5y = 3e^{-x} \sin(x)$ با شرایط اولیه $y(0) = 0$ و $y'(0) = 3$.

قدم 1: اعمال تبدیل لاپلاس

تبدیل لاپلاس دو طرف معادله دیفرانسیل را انجام می‌دهیم: $\mathcal{L}\{y'' + 2y' + 5y\} = \mathcal{L}\{3e^{-x} \sin(x)\}$

قدم 2: استفاده از خواص تبدیل لاپلاس

استفاده از خواص تبدیل لاپلاس برای مشتقات: $\mathcal{L}\{y''\} = s^2 Y(s) - sy(0) - y'(0)$ $\mathcal{L}\{2y'\} = 2(sY(s) - y(0))$ $\mathcal{L}\{5y\} = 5Y(s)$ $\mathcal{L}\{3e^{-x} \sin(x)\} = \frac{3}{(s+1)^2 + 1}$

قدم 3: جایگذاری شرایط اولیه

جایگذاری شرایط اولیه در معادله: $s^2 Y(s) - sy(0) - y'(0) + 2(sY(s) - y(0)) + 5Y(s) = \frac{3}{(s+1)^2 + 1}$ $s^2 Y(s) - s \cdot 0 - 3 + 2(sY(s) - 0) + 5Y(s) = \frac{3}{(s+1)^2 + 1}$ $(s^2 + 2s + 5)Y(s) - 3 = \frac{3}{(s+1)^2 + 1}$ $(s^2 + 2s + 5)Y(s) = \frac{3}{(s+1)^2 + 1} + 3$ $Y(s) = \frac{3}{((s+1)^2 + 1)(s^2 + 2s + 5)} + \frac{3}{s^2 + 2s + 5}$

قدم 4: تجزیه کسرها

تجزیه کسرها به صورت: $Y(s) = \frac{A}{(s+1)^2 + 1} + \frac{B}{s^2 + 2s + 5}$ برای یافتن $A$ و $B$ باید تجزیه کسرهای جزئی را انجام دهیم.

قدم 5: تبدیل معکوس لاپلاس

برای هر کسر تبدیل معکوس لاپلاس را می‌یابیم. این مرحله نیاز به محاسبات جزئی‌تر دارد و ممکن است به کمک جداول تبدیل لاپلاس انجام شود.

جزئیات بیشتر

آیا نیاز به جزئیات بیشتری در مورد محاسبات و تجزیه کسرها دارید؟