برای حل دقیق مسئله 2b و پیدا کردن تبدیل لاپلاس معکوس $\frac{s e^{-s}}{(s^2 + 4)^2}$ بدون تغییر، از همان مراحل زیر استفاده می‌کنیم:

حل مسئله 2b به طور دقیق

قدم اول: تبدیل لاپلاس معکوس $\frac{s}{(s^2 + 4)^2}$

ابتدا تبدیل لاپلاس معکوس $\frac{s}{(s^2 + 4)^2}$ را پیدا می‌کنیم. این تبدیل لاپلاس معکوس را می‌توان از جداول تبدیل لاپلاس یا از روش‌های شناخته شده استفاده کرد.

می‌دانیم که: $\mathcal{L}\{t \sin(at)\} = \frac{2as}{(s^2 + a^2)^2}$

بنابراین، برای $a = 2$ داریم: $\mathcal{L}\{t \sin(2t)\} = \frac{4s}{(s^2 + 4)^2}$

پس، تبدیل لاپلاس معکوس $\frac{4s}{(s^2 + 4)^2}$ برابر است با: $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{4s}{(s^2 + 4)^2}\right\} = t \sin(2t)$

بنابراین، تبدیل لاپلاس معکوس $\frac{s}{(s^2 + 4)^2}$ برابر است با: $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{(s^2 + 4)^2}\right\} = \frac{1}{4} t \sin(2t)$

قدم دوم: اعمال قضیه شیفت دوم

قضیه شیفت دوم بیان می‌کند که: $\mathcal{L}^{-1}\{e^{-as} F(s)\} = u(t-a) f(t-a)$

در اینجا، $a = 1$ و $F(s) = \frac{s}{(s^2 + 4)^2}$.

بنابراین، تبدیل لاپلاس معکوس $\frac{s e^{-s}}{(s^2 + 4)^2}$ برابر است با: $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s e^{-s}}{(s^2 + 4)^2}\right\} = u(t-1) \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{(s^2 + 4)^2}\right\}(t-1)$

پس داریم: $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s e^{-s}}{(s^2 + 4)^2}\right\} = u(t-1) \frac{1}{4} (t-1) \sin(2(t-1))$

نتیجه نهایی:

$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s e^{-s}}{(s^2 + 4)^2}\right\} = u(t-1) \frac{1}{4} (t-1) \sin(2(t-1))$

این پاسخ نهایی تبدیل لاپلاس معکوس مورد نظر است و مراحل حل به صورت ثابت و بدون تغییر در بالا ارائه شده است.

سوالات مرتبط برای بررسی:

1. چگونه از انتگرال معکوس لاپلاس برای یافتن تبدیل‌های پیچیده استفاده کنیم؟
2. بسط سری تیلور و کاربردهای آن در حل مسائل؟
3. خواص و قضایای تبدیل لاپلاس و کاربردهای آنها؟
4. نحوه استفاده از جداول تبدیل لاپلاس برای یافتن تبدیل‌های معکوس؟
5. بررسی دقیق روش‌های انتگرالی برای حل مسائل تبدیل لاپلاس؟

نکته: هنگام حل مسائل تبدیل لاپلاس، همیشه بررسی کنید که آیا می‌توان از تبدیل‌های شناخته شده و خواص استفاده کرد یا خیر.