چرا هر بار که توضیح میدی جوابت عوض میشه

برای حل دقیق مسئله 2b و پیدا کردن تبدیل لاپلاس معکوس \(\frac{s e^{-s}}{(s^2 + 4)^2}\) بدون تغییر، از همان مراحل زیر استفاده می‌کنیم:

### حل مسئله 2b به طور دقیق

#### قدم اول: تبدیل لاپلاس معکوس \(\frac{s}{(s^2 + 4)^2}\)

ابتدا تبدیل لاپلاس معکوس \(\frac{s}{(s^2 + 4)^2}\) را پیدا می‌کنیم. این تبدیل لاپلاس معکوس را می‌توان از جداول تبدیل لاپلاس یا از روش‌های شناخته شده استفاده کرد.

می‌دانیم که:
\[
\mathcal{L}\{t \sin(at)\} = \frac{2as}{(s^2 + a^2)^2}
\]

بنابراین، برای \(a = 2\) داریم:
\[
\mathcal{L}\{t \sin(2t)\} = \frac{4s}{(s^2 + 4)^2}
\]

پس، تبدیل لاپلاس معکوس \(\frac{4s}{(s^2 + 4)^2}\) برابر است با:
\[
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{4s}{(s^2 + 4)^2}\right\} = t \sin(2t)
\]

بنابراین، تبدیل لاپلاس معکوس \(\frac{s}{(s^2 + 4)^2}\) برابر است با:
\[
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{(s^2 + 4)^2}\right\} = \frac{1}{4} t \sin(2t)
\]

#### قدم دوم: اعمال قضیه شیفت دوم

قضیه شیفت دوم بیان می‌کند که:
\[
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-as} F(s)\} = u(t-a) f(t-a)
\]

در اینجا، \(a = 1\) و \(F(s) = \frac{s}{(s^2 + 4)^2}\).

بنابراین، تبدیل لاپلاس معکوس \(\frac{s e^{-s}}{(s^2 + 4)^2}\) برابر است با:
\[
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s e^{-s}}{(s^2 + 4)^2}\right\} = u(t-1) \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{(s^2 + 4)^2}\right\}(t-1)
\]

پس داریم:
\[
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s e^{-s}}{(s^2 + 4)^2}\right\} = u(t-1) \frac{1}{4} (t-1) \sin(2(t-1))
\]

### نتیجه نهایی:
\[
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s e^{-s}}{(s^2 + 4)^2}\right\} = u(t-1) \frac{1}{4} (t-1) \sin(2(t-1))
\]

این پاسخ نهایی تبدیل لاپلاس معکوس مورد نظر است و مراحل حل به صورت ثابت و بدون تغییر در بالا ارائه شده است.

### سوالات مرتبط برای بررسی:
1. چگونه از انتگرال معکوس لاپلاس برای یافتن تبدیل‌های پیچیده استفاده کنیم؟
2. بسط سری تیلور و کاربردهای آن در حل مسائل؟
3. خواص و قضایای تبدیل لاپلاس و کاربردهای آنها؟
4. نحوه استفاده از جداول تبدیل لاپلاس برای یافتن تبدیل‌های معکوس؟
5. بررسی دقیق روش‌های انتگرالی برای حل مسائل تبدیل لاپلاس؟

**نکته:** هنگام حل مسائل تبدیل لاپلاس، همیشه بررسی کنید که آیا می‌توان از تبدیل‌های شناخته شده و خواص استفاده کرد یا خیر.

Learn how to find the inverse Laplace transform of (s e^{-s}) / ((s^2 + 4)^2) step-by-step with detailed explanations and applications of the shift theorem. Suitable for advanced mathematics students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation