Reducir la ecuación general de la elipse: x2+2y2-2x+8y+5=0 a la ecuación ordinaria de la elipse

Para reducir la ecuación general de la elipse \( x^2 + 2y^2 - 2x + 8y + 5 = 0 \) a la ecuación ordinaria, seguiremos los siguientes pasos:

1. **Reorganizar los términos**:
   \[
   x^2 - 2x + 2y^2 + 8y + 5 = 0
   \]

2. **Completar el cuadrado para los términos en \( x \)**:
   \[
   x^2 - 2x \rightarrow (x^2 - 2x + 1 - 1) = (x - 1)^2 - 1
   \]

3. **Completar el cuadrado para los términos en \( y \)**:
   \[
   2y^2 + 8y \rightarrow 2(y^2 + 4y) \rightarrow 2(y^2 + 4y + 4 - 4) = 2\left( (y + 2)^2 - 4 \right) = 2(y + 2)^2 - 8
   \]

4. **Sustituir en la ecuación original**:
   \[
   (x - 1)^2 - 1 + 2(y + 2)^2 - 8 + 5 = 0
   \]
   Simplificando:
   \[
   (x - 1)^2 - 1 + 2(y + 2)^2 - 3 = 0
   \]
   \[
   (x - 1)^2 + 2(y + 2)^2 - 4 = 0
   \]

5. **Aislar el término constante**:
   \[
   (x - 1)^2 + 2(y + 2)^2 = 4
   \]

6. **Dividir por 4 para obtener la forma estándar de la elipse**:
   \[
   \frac{(x - 1)^2}{4} + \frac{(y + 2)^2}{2} = 1
   \]

La ecuación ordinaria de la elipse es:
\[
\frac{(x - 1)^2}{4} + \frac{(y + 2)^2}{2} = 1
\]

Esto representa una elipse centrada en \((1, -2)\) con semi-ejes de longitud 2 en la dirección \(x\) y \(\sqrt{2}\) en la dirección \(y\).

¿Te gustaría profundizar en alguno de estos pasos o tienes alguna otra pregunta?

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### Preguntas Relacionadas

1. ¿Cómo se identifican los ejes principales de la elipse a partir de la ecuación ordinaria?
2. ¿Cómo se determina la excentricidad de una elipse?
3. ¿Qué significa completar el cuadrado y cómo se aplica a otros tipos de cónicas?
4. ¿Cómo afecta el signo de los coeficientes de \(x^2\) y \(y^2\) a la forma de la elipse?
5. ¿Cuál es la relación entre el foco de una elipse y su ecuación ordinaria?
6. ¿Cómo se transformaría la ecuación si la elipse estuviera rotada respecto a los ejes coordenados?
7. ¿Cómo se encuentra la longitud de los ejes mayor y menor de una elipse?
8. ¿Qué implicaciones tiene la ubicación del centro de la elipse en la ecuación?

### Tip

Al trabajar con cónicas, es esencial dominar la técnica de completar el cuadrado, ya que facilita la transición de la forma general a la forma estándar, lo que permite un análisis más profundo de sus propiedades geométricas.

Aprende cómo reducir la ecuación general de la elipse x^2 + 2y^2 - 2x + 8y + 5 = 0 a su forma ordinaria paso a paso. Este problema cubre conceptos avanzados de matemáticas, incluyendo la técnica de completar el cuadrado para cónicas. Adecuado para estudiantes de secundaria avanzada.

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