مسئله 2b یک s هم در صورت دارد

### مسئله 2b: پیدا کردن تبدیل لاپلاس معکوس \(\frac{s e^{-s}}{(s^2 + 4)^2}\)

استفاده از قضیه شیفت دوم:

\[
\mathcal{L}^{-1}\left\{e^{-as}F(s)\right\} = u(t-a)f(t-a)
\]

در اینجا، \(a = 1\) و \(F(s) = \frac{s}{(s^2 + 4)^2}\).

ابتدا تبدیل لاپلاس معکوس \(F(s)\) را پیدا می‌کنیم. 

تبدیل لاپلاس معکوس \(\frac{s}{(s^2 + 4)^2}\) به صورت زیر است:

\[
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{(s^2 + 4)^2}\right\} = \frac{1}{8} \left( \sin(2t) - 2t \cos(2t) \right)
\]

حال با استفاده از قضیه شیفت دوم:

\[
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s e^{-s}}{(s^2 + 4)^2}\right\} = u(t-1) \frac{1}{8} \left( \sin(2(t-1)) - 2(t-1) \cos(2(t-1)) \right)
\]

بنابراین، جواب نهایی به صورت زیر است:

\[
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s e^{-s}}{(s^2 + 4)^2}\right\} = u(t-1) \frac{1}{8} \left( \sin(2(t-1)) - 2(t-1) \cos(2(t-1)) \right)
\]

Learn how to find the inverse Laplace transform of se^{-s}/(s^2 + 4)^2 step-by-step. This problem involves using the Second Shift Theorem, which is essential in advanced calculus and engineering mathematics. Suitable for undergraduate students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation