بله، می‌توانم تبدیل معکوس لاپلاس این عبارت را محاسبه کنم.

برای تبدیل معکوس لاپلاس عبارت $\frac{s}{(s^2 + 4)^2}$ باید از جداول تبدیل لاپلاس و خواص آن استفاده کنیم.

قدم 1: شناسایی شکل استاندارد

این عبارت شبیه به تبدیل لاپلاس مشتق تابع است. از خواص تبدیل لاپلاس می‌دانیم که: $\mathcal{L}\{t \sin(at)\} = \frac{2as}{(s^2 + a^2)^2}$

در اینجا $a = 2$ است. بنابراین: $\mathcal{L}\{t \sin(2t)\} = \frac{2 \cdot 2s}{(s^2 + 4)^2} = \frac{4s}{(s^2 + 4)^2}$

قدم 2: تطابق دادن عبارت

ما داریم: $\frac{s}{(s^2 + 4)^2}$

این عبارت را می‌توان به صورت: $\frac{1}{4} \cdot \frac{4s}{(s^2 + 4)^2}$ نوشت.

قدم 3: اعمال تبدیل معکوس

با استفاده از خاصیت تبدیل لاپلاس معکوس: $\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{4s}{(s^2 + 4)^2} \right\} = t \sin(2t)$

بنابراین، با توجه به تطابق دادن عبارت: $\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{s}{(s^2 + 4)^2} \right\} = \frac{1}{4} t \sin(2t)$

نتیجه

تبدیل معکوس لاپلاس عبارت: $\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{s}{(s^2 + 4)^2} \right\} = \frac{1}{4} t \sin(2t)$

آیا توضیحات بیشتری در مورد مراحل محاسبات نیاز دارید؟

سوالات پیشنهادی

1. چطور تبدیل لاپلاس یک تابع مثلثاتی را محاسبه کنیم؟
2. چگونه می‌توان از جداول تبدیل لاپلاس برای یافتن تبدیل معکوس استفاده کرد؟
3. چه خواص دیگری از تبدیل لاپلاس برای حل معادلات دیفرانسیل مفید هستند؟
4. چطور می‌توان از تبدیل لاپلاس برای حل معادلات دیفرانسیل با شرایط اولیه پیچیده استفاده کرد؟
5. چگونه می‌توان از تبدیل لاپلاس برای حل مسائل انتگرالی استفاده کرد؟

نکته

به یاد داشته باشید که تبدیل لاپلاس ابزار قدرتمندی برای حل معادلات دیفرانسیل و انتگرال‌ها است، به ویژه زمانی که با شرایط اولیه پیچیده روبرو هستید.