L'image montre une page de cahier avec trois exercices écrits à la main. Voici le texte :

1) Déterminer PPCN (82, 804)

2) Écrire la fraction suivante sous forme irréductible :
   27/75, 122/64

3) Déterminer les entiers naturels m dont le carré est
   suivant : 6/m^2 ∈ N.

Voici la solution aux trois exercices :

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### 1) **Déterminer le PPCM (82, 804)**

Le PPCM (plus petit commun multiple) de deux nombres est le plus petit nombre entier qui est divisible par ces deux nombres. On peut utiliser la décomposition en facteurs premiers pour calculer le PPCM :

**Étape 1 : Décomposition en facteurs premiers** :
- \( 82 = 2 \times 41 \)  
- \( 804 = 2^2 \times 3 \times 67 \)

**Étape 2 : Calcul du PPCM** :
Le PPCM est obtenu en prenant tous les facteurs premiers en tenant compte de la plus grande puissance de chaque facteur :
- \( PPCM(82, 804) = 2^2 \times 3 \times 41 \times 67 \)

Calculons :
\[
2^2 = 4
\]
\[
4 \times 3 = 12
\]
\[
12 \times 41 = 492
\]
\[
492 \times 67 = 32964
\]
**Réponse :** Le PPCM de 82 et 804 est \( 32\,964 \).

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### 2) **Écrire les fractions sous forme irréductible :**

#### \( \frac{27}{75} \) :
On simplifie cette fraction en trouvant le PGCD (plus grand commun diviseur) de 27 et 75.
- \( 27 = 3^3 \)
- \( 75 = 3 \times 5^2 \)
Le PGCD est \( 3 \).

Donc, on simplifie \( \frac{27}{75} \) par \( 3 \) :
\[
\frac{27}{75} = \frac{27 \div 3}{75 \div 3} = \frac{9}{25}
\]

#### \( \frac{122}{64} \) :
On simplifie cette fraction en trouvant le PGCD de 122 et 64.
- \( 122 = 2 \times 61 \)
- \( 64 = 2^6 \)
Le PGCD est \( 2 \).

Donc, on simplifie \( \frac{122}{64} \) par \( 2 \) :
\[
\frac{122}{64} = \frac{122 \div 2}{64 \div 2} = \frac{61}{32}
\]

**Réponse :** Les fractions irréductibles sont \( \frac{9}{25} \) et \( \frac{61}{32} \).

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### 3) **Déterminer les entiers naturels \( m \) dont le carré satisfait \( \frac{6}{m^2} \in \mathbb{N} \)**

Pour que \( \frac{6}{m^2} \) soit un entier naturel, \( m^2 \) doit diviser exactement 6. Décomposons 6 en facteurs premiers :
\[
6 = 2 \times 3
\]
Le carré de \( m \) (c'est-à-dire \( m^2 \)) doit être un diviseur de 6. Les diviseurs de 6 sont :
\[
1, 2, 3, 6
\]

Ainsi, \( m^2 \in \{1, 2, 3, 6\} \). Voyons si ces valeurs sont possibles pour \( m^2 \) :
- \( m^2 = 1 \), donc \( m = 1 \).
- \( m^2 = 2 \), impossible car il n'existe pas d'entier \( m \) tel que \( m^2 = 2 \).
- \( m^2 = 3 \), impossible car il n'existe pas d'entier \( m \) tel que \( m^2 = 3 \).
- \( m^2 = 6 \), impossible car il n'existe pas d'entier \( m \) tel que \( m^2 = 6 \).

**Réponse :** La seule valeur possible pour \( m \) est \( 1 \).

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Si tu souhaites des explications supplémentaires ou des détails, n'hésite pas à me le dire !

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### Questions liées :
1. Comment calcule-t-on le PGCD de deux nombres ?
2. Pourquoi la simplification d'une fraction implique-t-elle le PGCD ?
3. Comment trouve-t-on les diviseurs d'un nombre ?
4. Quelles sont les propriétés du PPCM et comment s'appliquent-elles aux fractions ?
5. Pourquoi certains nombres n'ont-ils pas de racines carrées entières ?

**Astuce :** Pour simplifier une fraction, utilise la décomposition en facteurs premiers pour identifier rapidement le PGCD.

L'image montre une page de cahier avec trois exercices écrits à la main. Voici le texte :

1) Déterminer PPCN (82, 804)

2) Écrire la fraction suivante sous forme irréductible : 27/75, 122/64

3) Déterminer les entiers naturels m dont le carré est suivant : 6/m^2 ∈ N.

Learn how to find the PPCM (LCM) of 82 and 804 using prime factorization, simplify fractions 27/75 and 122/64, and determine the natural numbers for which m^2 divides 6. Detailed solutions cover prime factorization, GCD, LCM, and simplifying fractions. Suitable for students in Grades 9-10.

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