L'image montre une page de cahier avec trois exercices écrits à la main. Voici le texte :

1) Déterminer PPCM (82, 804)

2) Écrire la fraction suivante sous forme irréductible :
   27/75, 122/64

3) Déterminer les entiers naturels m dont le carré est
   suivant : 6/m^2 ∈ N.

Voici les solutions pour les trois exercices :

### 1. **Déterminer le PPCM de 82 et 804 :**
Le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) de deux nombres est le plus petit entier qui est un multiple des deux nombres. Pour le calculer, on utilise les **facteurs premiers** des deux nombres.

- **82** se décompose en : \( 82 = 2 \times 41 \)
- **804** se décompose en : \( 804 = 2^2 \times 3 \times 67 \)

Le PPCM est obtenu en prenant les facteurs premiers avec leur plus grande puissance.

- Pour le facteur 2 : \( 2^2 \)
- Pour le facteur 3 : \( 3 \)
- Pour le facteur 41 : \( 41 \)
- Pour le facteur 67 : \( 67 \)

Ainsi, le PPCM de 82 et 804 est :  
\[
PPCM(82, 804) = 2^2 \times 3 \times 41 \times 67 = 33\,048
\]

### 2. **Écrire les fractions sous forme irréductible :**

#### a) \( \frac{27}{75} \)
- Décomposons les deux nombres :
  \[
  27 = 3^3, \quad 75 = 3 \times 5^2
  \]
- Le facteur commun est \( 3 \), donc on simplifie par 3 :
  \[
  \frac{27}{75} = \frac{9}{25}
  \]

#### b) \( \frac{122}{64} \)
- Décomposons les deux nombres :
  \[
  122 = 2 \times 61, \quad 64 = 2^6
  \]
- Le facteur commun est \( 2 \), donc on simplifie par 2 :
  \[
  \frac{122}{64} = \frac{61}{32}
  \]
  La fraction est irréductible car 61 est un nombre premier et 32 est une puissance de 2.

### 3. **Déterminer les entiers naturels \( m \) dont le carré fait que \( \frac{6}{m^2} \in \mathbb{N} \) :**

Pour que \( \frac{6}{m^2} \) soit un entier, cela signifie que \( m^2 \) doit diviser exactement 6.  
Les diviseurs de 6 sont : \( 1, 2, 3, 6 \).

Donc \( m^2 \) doit être l'un de ces nombres, ce qui donne les valeurs possibles de \( m \) :
- Si \( m^2 = 1 \), alors \( m = 1 \)
- Si \( m^2 = 2 \), impossible car 2 n'est pas un carré parfait.
- Si \( m^2 = 3 \), impossible car 3 n'est pas un carré parfait.
- Si \( m^2 = 6 \), impossible car 6 n'est pas un carré parfait.

Ainsi, la seule solution est \( m = 1 \).

---

Si vous souhaitez plus de détails ou avez des questions, n'hésitez pas à demander !

Voici 5 questions pour aller plus loin :
1. Comment calcule-t-on le PGCD de deux nombres et à quoi sert-il ?
2. Quelle est la différence entre le PPCM et le PGCD ?
3. Pourquoi est-il important de simplifier les fractions ?
4. Comment reconnaître les carrés parfaits ?
5. Quels sont les autres moyens de calculer le PPCM ?

**Conseil** : Lorsque vous cherchez à simplifier une fraction, essayez toujours de diviser par le plus grand facteur commun (PGCD).

L'image montre une page de cahier avec trois exercices écrits à la main. Voici le texte :
1) Déterminer PPCM (82, 804)
2) Écrire la fraction suivante sous forme irréductible :
   27/75, 122/64
3) Déterminer les entiers naturels m dont le carré est suivant : 6/m^2 ∈ N.

This page provides step-by-step solutions to determining the PPCM of 82 and 804, simplifying fractions like 27/75 and 122/64, and finding natural numbers where 6/m^2 is an integer. The guide covers prime factorization, fraction simplification, and natural numbers, suitable for students in Grades 6-8.

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