L'image montre une page de cahier avec trois exercices écrits à la main. Voici le texte :

1) Déterminer PPCM (82, 804)

2) Écrire la fraction suivante sous forme irréductible :
27/75, 122/64

3) Déterminer les entiers naturels m dont le carré est
suivant : 6/m^2 ∈ N.

Voyons comment résoudre chacun de ces exercices en détail.

### 1) Déterminer le PPCM de 82 et 804
Le **PPCM** (Plus Petit Commun Multiple) de deux nombres est le plus petit multiple commun aux deux nombres. Pour le calculer, on suit généralement les étapes suivantes :

1. Décomposer les deux nombres en facteurs premiers :
   - \( 82 = 2 \times 41 \)
   - \( 804 = 2^2 \times 3 \times 67 \)

2. Prendre chaque facteur premier avec son plus grand exposant dans les deux décompositions :
   - Le facteur 2 apparaît au maximum comme \( 2^2 \) dans 804.
   - Le facteur 3 apparaît uniquement dans 804.
   - Le facteur 41 apparaît dans 82.
   - Le facteur 67 apparaît dans 804.

3. Le PPCM est donc :  
   \( PPCM(82, 804) = 2^2 \times 3 \times 41 \times 67 = 32964 \).

Le PPCM de 82 et 804 est **32 964**.

---

### 2) Écrire les fractions suivantes sous forme irréductible :
Pour réduire une fraction à sa forme irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur **PGCD** (Plus Grand Commun Diviseur).

- **\( \frac{27}{75} \)** :
  1. Décomposons 27 et 75 en facteurs premiers :
     - \( 27 = 3^3 \)
     - \( 75 = 3 \times 5^2 \)
  2. Le PGCD de 27 et 75 est \( 3 \). Divisons le numérateur et le dénominateur par 3 :
     \[
     \frac{27}{75} = \frac{27 \div 3}{75 \div 3} = \frac{9}{25}
     \]
  La fraction irréductible est donc **\( \frac{9}{25} \)**.

- **\( \frac{122}{64} \)** :
  1. Décomposons 122 et 64 en facteurs premiers :
     - \( 122 = 2 \times 61 \)
     - \( 64 = 2^6 \)
  2. Le PGCD de 122 et 64 est \( 2 \). Divisons le numérateur et le dénominateur par 2 :
     \[
     \frac{122}{64} = \frac{122 \div 2}{64 \div 2} = \frac{61}{32}
     \]
  La fraction irréductible est donc **\( \frac{61}{32} \)**.

---

### 3) Déterminer les entiers naturels \( m \) dont le carré satisfait \( \frac{6}{m^2} \in \mathbb{N} \)
L'équation donnée signifie que \( \frac{6}{m^2} \) doit être un entier naturel, soit \( m^2 \) doit diviser 6.

Décomposons 6 en facteurs premiers :  
\( 6 = 2 \times 3 \).

Les diviseurs possibles de 6 sont \( 1, 2, 3, 6 \). Donc \( m^2 \) peut prendre l'une de ces valeurs :
- Si \( m^2 = 1 \), alors \( m = 1 \).
- Si \( m^2 = 4 \), alors \( m = 2 \).

Les entiers naturels \( m \) possibles sont donc **\( 1 \) et \( 2 \)**.

---

**Résumé des réponses :**
1. PPCM(82, 804) = **32 964**
2. Fractions irréductibles :
   - \( \frac{27}{75} = \frac{9}{25} \)
   - \( \frac{122}{64} = \frac{61}{32} \)
3. Les entiers naturels \( m \) sont \( m = 1 \) et \( m = 2 \).

Souhaitez-vous plus de détails ou avez-vous des questions ?  

### Questions associées :
1. Comment calculer le PGCD de deux nombres rapidement ?
2. Quelle est la différence entre le PPCM et le PGCD ?
3. Comment prouver qu'une fraction est déjà irréductible ?
4. Quelles sont les applications pratiques du PPCM ?
5. Comment résoudre des équations similaires avec des contraintes plus complexes sur \( m \) ?

### Astuce :
Pour simplifier rapidement une fraction, essayez de diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD dès le début !

L'image montre une page de cahier avec trois exercices écrits à la main. Voici le texte : 1) Déterminer PPCM (82, 804) 2) Écrire la fraction suivante sous forme irréductible : 27/75, 122/64 3) Déterminer les entiers naturels m dont le carré est suivant : 6/m^2 ∈ N.

Solve a multi-step math problem involving the calculation of PPCM of 82 and 804, simplifying fractions such as 27/75 and 122/64, and determining integer solutions for m such that 6/m^2 is a natural number. This is ideal for students in Grades 7-9 learning about number theory, fractions, and divisibility.

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