A tabela mostra a distância S em centímetros que uma bola percorre descendo Por um Plano inclinado em T segundos.

t |0| 1 | 2 | 3 | 4 |

s |0| 32| 128 |288| 512|

A distância S é função de T dada Pela expressão

S(t)=at²+bt+c, onde a, b, c são constantes. A distância S em centímetros, quando t=2,5 segundos, é igual a

Para determinar a distância \( S \) em centímetros quando \( t = 2,5 \) segundos, precisamos primeiro encontrar os valores das constantes \( a \), \( b \) e \( c \) na equação quadrática \( S(t) = at^2 + bt + c \).

Utilizaremos os pontos fornecidos na tabela para criar um sistema de equações e resolver para \( a \), \( b \) e \( c \):

1. \( S(0) = 0 \):
   \[
   0 = a(0)^2 + b(0) + c \implies c = 0
   \]

2. \( S(1) = 32 \):
   \[
   32 = a(1)^2 + b(1) + c \implies 32 = a + b
   \]

3. \( S(2) = 128 \):
   \[
   128 = a(2)^2 + b(2) + c \implies 128 = 4a + 2b
   \]

4. \( S(3) = 288 \):
   \[
   288 = a(3)^2 + b(3) + c \implies 288 = 9a + 3b
   \]

Agora temos o seguinte sistema de equações:
\[
\begin{cases}
c = 0 \\
a + b = 32 \\
4a + 2b = 128 \\
9a + 3b = 288 \\
\end{cases}
\]

Substituindo \( c = 0 \) nas equações restantes:
\[
\begin{cases}
a + b = 32 \\
4a + 2b = 128 \\
9a + 3b = 288 \\
\end{cases}
\]

Simplificando a segunda e terceira equações:
\[
4a + 2b = 128 \implies 2a + b = 64
\]
\[
9a + 3b = 288 \implies 3a + b = 96
\]

Temos agora um sistema mais simples:
\[
\begin{cases}
a + b = 32 \\
2a + b = 64 \\
3a + b = 96 \\
\end{cases}
\]

Subtraindo a primeira equação da segunda:
\[
(2a + b) - (a + b) = 64 - 32 \implies a = 32
\]

Substituindo \( a = 32 \) na primeira equação:
\[
32 + b = 32 \implies b = 0
\]

Portanto, temos \( a = 32 \), \( b = 0 \), e \( c = 0 \). Assim, a função é:
\[
S(t) = 32t^2
\]

Para encontrar a distância quando \( t = 2,5 \) segundos:
\[
S(2,5) = 32(2,5)^2 = 32 \times 6,25 = 200
\]

Portanto, a distância \( S \) em centímetros quando \( t = 2,5 \) segundos é igual a 200.

Quer mais detalhes ou tem alguma pergunta?  
Aqui estão 5 perguntas que você pode querer fazer:

1. Como resolver sistemas de equações lineares?
2. Como encontrar a expressão geral de uma função quadrática a partir de pontos dados?
3. Como verificar a solução de uma equação quadrática?
4. Quais são outras formas de resolver sistemas de equações quadráticas?
5. Como usar a álgebra para modelar problemas do mundo real?

**Dica:** Quando resolver sistemas de equações, simplifique as equações e reduza o número de variáveis sempre que possível para facilitar a solução.

Learn how to calculate the distance S traveled by a ball on an incline over time using a quadratic equation. Understand the steps to derive constants a, b, and c from given data points and solve for S(t) at t = 2.5 seconds. Ideal for advanced high school students studying quadratic equations and systems of equations.

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