  某家企业生产每件产品的可变成本是5元，企业的固定生产成本是100000元。该企业面临
向下倾斜的需求曲线，需求函数的表达式为:Q=10000(10).表示产品需求量，P表
S
示产品价格。
(1)计算没有价格歧视时的最优价格和销售量。(2)计算没有价格歧视时企业的利润和消费者剩余。
(3)企业通过价格歧视把消费者分为两类:一类支付较高的价格，另一类支付较低的价格。计算企业在两段价格歧视策略下的最优高价和最优低价、以最优高价出售的销售数量和以最优低价出售的销售数量。
(4)计算企业在价格歧视策略下的利润水平和消费者剩余。

我们可以通过以下步骤来解决这个问题：

### (1) 计算没有价格歧视时的最优价格和销售量

企业面临的需求函数为 \( Q = 10000 - 1000P \)。

首先，确定总收入 (TR) 和总成本 (TC)：
\[ TR = P \times Q = P \times (10000 - 1000P) = 10000P - 1000P^2 \]
\[ TC = 5Q + 100000 \]

利润 (π) 为：
\[ \pi = TR - TC = (10000P - 1000P^2) - (5Q + 100000) \]

把 \( Q = 10000 - 1000P \) 代入成本函数：
\[ TC = 5(10000 - 1000P) + 100000 = 50000 - 5000P + 100000 = 150000 - 5000P \]

因此，利润函数变为：
\[ \pi = 10000P - 1000P^2 - (150000 - 5000P) = 15000P - 1000P^2 - 150000 \]

为了找到最优价格，求导并设导数为零：
\[ \frac{d\pi}{dP} = 15000 - 2000P = 0 \]
\[ 2000P = 15000 \]
\[ P = 7.5 \]

最优销售量 \( Q \)：
\[ Q = 10000 - 1000P = 10000 - 1000 \times 7.5 = 2500 \]

### (2) 计算没有价格歧视时企业的利润和消费者剩余

企业利润：
\[ \pi = 15000P - 1000P^2 - 150000 = 15000 \times 7.5 - 1000 \times (7.5)^2 - 150000 \]
\[ \pi = 112500 - 56250 - 150000 = -93750 \]

计算消费者剩余 (CS)：
需求曲线为 \( Q = 10000 - 1000P \)，反需求曲线为 \( P = 10 - \frac{Q}{1000} \)。

消费者剩余为：
\[ CS = \int_0^{2500} (10 - \frac{Q}{1000}) dQ - P \times Q \]
\[ CS = \left[ 10Q - \frac{Q^2}{2000} \right]_0^{2500} - 7.5 \times 2500 \]
\[ CS = (10 \times 2500 - \frac{2500^2}{2000}) - 18750 \]
\[ CS = (25000 - 3125) - 18750 \]
\[ CS = 25000 - 3125 - 18750 = 3125 \]

### (3) 计算企业在两段价格歧视策略下的最优高价和最优低价、以最优高价出售的销售数量和以最优低价出售的销售数量

设两类消费者的需求曲线为 \( Q_1 = 10000 - 1000P_1 \) 和 \( Q_2 = 10000 - 1000P_2 \)。

要找到每类消费者的最优价格，我们需要分别对每类消费者最大化利润。

对于高价消费者：
\[ \pi_1 = P_1 \times Q_1 - 5Q_1 \]
\[ \pi_1 = P_1 \times (10000 - 1000P_1) - 5(10000 - 1000P_1) \]
\[ \pi_1 = 10000P_1 - 1000P_1^2 - 50000 + 5000P_1 \]
\[ \pi_1 = 15000P_1 - 1000P_1^2 - 50000 \]

求导并设导数为零：
\[ \frac{d\pi_1}{dP_1} = 15000 - 2000P_1 = 0 \]
\[ 2000P_1 = 15000 \]
\[ P_1 = 7.5 \]

对于低价消费者：
\[ \pi_2 = P_2 \times Q_2 - 5Q_2 \]
\[ \pi_2 = P_2 \times (10000 - 1000P_2) - 5(10000 - 1000P_2) \]
\[ \pi_2 = 10000P_2 - 1000P_2^2 - 50000 + 5000P_2 \]
\[ \pi_2 = 15000P_2 - 1000P_2^2 - 50000 \]

求导并设导数为零：
\[ \frac{d\pi_2}{dP_2} = 15000 - 2000P_2 = 0 \]
\[ 2000P_2 = 15000 \]
\[ P_2 = 7.5 \]

在两段价格歧视下，由于两个需求曲线和成本函数相同，最优价格和销售数量与没有价格歧视时相同。每个类别的消费者支付同样的价格 \( P = 7.5 \)，销售数量为 \( Q = 2500 \)。

### (4) 计算企业在价格歧视策略下的利润水平和消费者剩余

由于价格歧视与单一价格情况下的结果相同，企业利润和消费者剩余保持不变。

企业利润：
\[ \pi = 15000 \times 7.5 - 1000 \times (7.5)^2 - 150000 = -93750 \]

消费者剩余：
\[ CS = 3125 \]

总结：

1. **最优价格和销售量**：价格 \( P = 7.5 \)，销售量 \( Q = 2500 \)。
2. **企业利润和消费者剩余**：企业利润 \( \pi = -93750 \)，消费者剩余 \( CS = 3125 \)。
3. **价格歧视策略**：价格 \( P = 7.5 \)，销售量 \( Q = 2500 \)。
4. **价格歧视策略下的利润和消费者剩余**：企业利润 \( \pi = -93750 \)，消费者剩余 \( CS = 3125 \)。

如有任何疑问或需要进一步的解释，请随时告知。

以下是你可以问的五个问题：
1. 什么是价格歧视？
2. 如何推导出需求曲线？
3. 在什么情况下企业会选择进行价格歧视？
4. 固定成本和可变成本有什么区别？
5. 什么是消费者剩余？

小贴士：在解决经济问题时，清晰地定义变量和方程是确保正确解答的关键。

Explore how to determine optimal pricing and calculate profits in microeconomics. This problem involves analyzing a firm's cost and demand functions to find the best price and quantity to maximize profit, considering fixed and variable costs.

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