$$ \frac{\left(2.\left(k+x\right)^2-4kx\right)}{\left(k+x^{}\right)^2+2} $$ اثبات اینکه جواب این معادله مربع کامل هست رو بگو؟

برای اثبات اینکه جواب معادله زیر یک مربع کامل است، باید معادله را ساده کنیم و ببینیم آیا می‌توانیم آن را به صورت مربع کامل یک عبارت دیگر بیان کنیم یا نه.

معادله داده‌شده به صورت زیر است:

$$ \frac{2(k+x)^2 - 4kx}{(k+x)^2 + 2} $$

### مرحله 1: بسط و ساده‌سازی صورت کسر
ابتدا صورت کسر را بسط می‌دهیم:

$$ 2(k+x)^2 - 4kx $$

بسط کردن $(k+x)^2$:

$$ (k+x)^2 = k^2 + 2kx + x^2 $$

بنابراین:

$$ 2(k+x)^2 = 2(k^2 + 2kx + x^2) = 2k^2 + 4kx + 2x^2 $$

حالا کسر را به این شکل ساده می‌کنیم:

$$ 2k^2 + 4kx + 2x^2 - 4kx = 2k^2 + 2x^2 $$

### مرحله 2: ساده‌سازی معادله اصلی
بنابراین کسر اصلی به شکل زیر درمی‌آید:

$$ \frac{2(k^2 + x^2)}{(k+x)^2 + 2} $$

### مرحله 3: مقایسه با مربع کامل
حالا بررسی می‌کنیم که آیا این کسر یک مربع کامل است یا نه. اگر فرض کنیم که کسر به صورت مربع کامل یک عبارت مثل $ (A+B)^2 $ باشد، باید بتوانیم صورت و مخرج را به گونه‌ای ساده کنیم که به این فرم برسیم.

توجه می‌کنیم که عبارت $ 2(k^2 + x^2) $ به صورت $ (\sqrt{2}k)^2 + (\sqrt{2}x)^2 $ است که اگر $ k = x $ باشد، به راحتی یک مربع کامل به دست می‌آید. ولی به صورت کلی این کسر یک مربع کامل نیست مگر اینکه شرایط خاصی بر $ k $ و $ x $ حاکم باشد.

بنابراین اگر شرایطی بر $ k $ و $ x $ وجود داشته باشد که معادله ساده شود (مثلاً $ k = x $)، این معادله به یک مربع کامل تبدیل می‌شود، وگرنه به صورت کلی مربع کامل نیست.

### نتیجه‌گیری:
عبارت داده‌شده به صورت کلی یک مربع کامل نیست، مگر تحت شرایط خاصی مانند $ k = x $.

---

آیا توضیحات بیشتری نیاز دارید؟ یا سوال دیگری دارید؟

### سوالات مرتبط:
1. چطور می‌توان اثبات کرد که یک عبارت به طور کلی مربع کامل نیست؟
2. چه شرایطی لازم است تا کسر فوق یک مربع کامل باشد؟
3. چگونه می‌توان شرایطی که مربع کامل بودن را تضمین می‌کند، پیدا کرد؟
4. برای چه مقادیری از $ k $ و $ x $ این معادله یک مربع کامل می‌شود؟
5. مفهوم مربع کامل در ریاضیات چیست؟
6. آیا ساده‌سازی دیگری وجود دارد که به ما در فهمیدن مربع کامل بودن این عبارت کمک کند؟
7. اگر $ k $ و $ x $ مقادیر خاصی باشند، چگونه کسر را به صورت دقیق‌تر ساده کنیم؟
8. چگونه می‌توان به طور دقیق‌تری معادلاتی که شامل مربع کامل هستند را تحلیل کرد؟

### نکته:
در ریاضیات، زمانی که با عبارت‌هایی مواجه می‌شوید که احتمال می‌دهید مربع کامل باشند، همیشه به دنبال الگوهای آشنا یا بسط‌هایی که به صورت مربع کامل در می‌آیند، باشید.

Learn how to prove that the given equation is a perfect square with a detailed step-by-step solution. This problem involves algebraic manipulation, fraction simplification, and the completion of the square theorem. Suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation