New Determinare le due equazioni delle rette tangenti alla parabola y = – x2

– 2x + 7 nel suo punto

esterno P(0;11) e determinare le coordinate dei due punti di tangenza;

Per determinare le equazioni delle rette tangenti alla parabola \( y = -x^2 - 2x + 7 \) che passano per il punto esterno \( P(0; 11) \), e per trovare le coordinate dei punti di tangenza, seguiamo questi passi:

### 1. **Trovare l'equazione della retta tangente**:
L'equazione generale di una retta che passa per il punto \( P(0, 11) \) è:

\[
y - 11 = m(x - 0) \quad \text{oppure} \quad y = mx + 11
\]

Dove \( m \) è la pendenza della retta.

### 2. **Imporre la condizione di tangenza**:
La retta sarà tangente alla parabola \( y = -x^2 - 2x + 7 \) se il sistema di equazioni:

\[
\begin{cases}
y = -x^2 - 2x + 7 \\
y = mx + 11
\end{cases}
\]

ha un'unica soluzione, cioè se il discriminante dell'equazione risultante è uguale a zero.

### 3. **Sostituire l'equazione della retta nell'equazione della parabola**:
Sostituiamo l'espressione di \( y \) dalla retta nella parabola:

\[
mx + 11 = -x^2 - 2x + 7
\]

Riorganizziamo per ottenere un'equazione quadratica in \( x \):

\[
x^2 + (m + 2)x + (11 - 7) = 0
\]

\[
x^2 + (m + 2)x + 4 = 0
\]

### 4. **Condizione di tangenza**:
Affinché ci sia tangenza, il discriminante di questa equazione quadratica deve essere uguale a zero.

Il discriminante è dato da:

\[
\Delta = (m + 2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4
\]

\[
\Delta = (m + 2)^2 - 16
\]

Imponiamo \( \Delta = 0 \):

\[
(m + 2)^2 - 16 = 0
\]

\[
(m + 2)^2 = 16
\]

\[
m + 2 = \pm 4
\]

### 5. **Trovare le pendenze**:
Risolvendo per \( m \):

\[
m + 2 = 4 \quad \Rightarrow \quad m = 2
\]

\[
m + 2 = -4 \quad \Rightarrow \quad m = -6
\]

Quindi, abbiamo due pendenze: \( m_1 = 2 \) e \( m_2 = -6 \).

### 6. **Determinare le equazioni delle rette tangenti**:
Ora sostituiamo le pendenze nelle rispettive equazioni delle rette tangenti:

1. Per \( m_1 = 2 \):

\[
y = 2x + 11
\]

2. Per \( m_2 = -6 \):

\[
y = -6x + 11
\]

### 7. **Trovare i punti di tangenza**:
Per trovare i punti di tangenza, dobbiamo risolvere il sistema tra ciascuna retta e la parabola.

#### Primo punto di tangenza con \( y = 2x + 11 \):

\[
2x + 11 = -x^2 - 2x + 7
\]

\[
x^2 + 4x + 4 = 0
\]

\[
(x + 2)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2
\]

Sostituendo \( x = -2 \) nella retta \( y = 2x + 11 \):

\[
y = 2(-2) + 11 = 7
\]

Primo punto di tangenza: \( T_1(-2, 7) \).

#### Secondo punto di tangenza con \( y = -6x + 11 \):

\[
-6x + 11 = -x^2 - 2x + 7
\]

\[
x^2 - 4x + 4 = 0
\]

\[
(x - 2)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2
\]

Sostituendo \( x = 2 \) nella retta \( y = -6x + 11 \):

\[
y = -6(2) + 11 = -12 + 11 = -1
\]

Secondo punto di tangenza: \( T_2(2, -1) \).

### **Risultato Finale**:
Le equazioni delle due rette tangenti sono:

1. \( y = 2x + 11 \) con punto di tangenza \( T_1(-2, 7) \).
2. \( y = -6x + 11 \) con punto di tangenza \( T_2(2, -1) \).

Hai bisogno di ulteriori chiarimenti o spiegazioni?

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Ecco 5 domande correlate:

1. Come si risolve un'equazione quadratica per trovare i punti di tangenza?
2. Cosa rappresenta geometricamente il discriminante di un'equazione quadratica?
3. Come si determina se un punto è esterno, interno o sulla parabola?
4. In quali casi una parabola può avere due, una o nessuna retta tangente passante per un punto esterno?
5. Come si verifica la correttezza di un punto di tangenza calcolato?

**Tip**: Quando lavori con rette tangenti, ricordati sempre di verificare che il discriminante dell'equazione quadratica sia zero per confermare che la tangente tocchi la curva in un solo punto.

Learn how to find tangent lines to the parabola y = -x^2 - 2x + 7 that pass through the external point (0, 11). Detailed step-by-step solution with equations and coordinates of tangent points provided.

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