In welcher Zeit verdoppelt sich bei Zinseszinsrechnung jedes beliebige Anfangskapital K bei einem jährlichen
Zinssatz von p = 5%?

Um die Zeit zu berechnen, in der sich ein beliebiges Anfangskapital \( K \) bei einem jährlichen Zinssatz von \( p = 5\% \) verdoppelt, verwenden wir die Formel für den Zinseszins:

\[
K(t) = K_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})^t
\]

Hierbei ist:
- \( K(t) \) das Kapital nach \( t \) Jahren,
- \( K_0 \) das Anfangskapital,
- \( p = 5 \) der jährliche Zinssatz in Prozent.

Da sich das Kapital verdoppeln soll, setzen wir \( K(t) = 2K_0 \) ein:

\[
2K_0 = K_0 \cdot (1 + \frac{5}{100})^t
\]

Das vereinfacht sich zu:

\[
2 = (1 + 0{,}05)^t
\]

Nun lösen wir diese Gleichung nach \( t \) auf. Dazu verwenden wir den Logarithmus:

\[
\log(2) = t \cdot \log(1{,}05)
\]

Um \( t \) zu berechnen, teilen wir durch \( \log(1{,}05) \):

\[
t = \frac{\log(2)}{\log(1{,}05)}
\]

Berechnen wir nun den Wert:

\[
t \approx \frac{0{,}3010}{0{,}0212} \approx 14{,}21
\]

**Ergebnis:**
Das Anfangskapital verdoppelt sich in ungefähr 14,21 Jahren bei einem jährlichen Zinssatz von 5%.

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**Tipp:** Die Verdopplungsregel ("Rule of 72") ist eine nützliche Faustregel zur schnellen Abschätzung der Verdopplungszeit.

In welcher Zeit verdoppelt sich bei Zinseszinsrechnung jedes beliebige Anfangskapital K bei einem jährlichen Zinssatz von p = 5%?

Erfahren Sie, wie lange es dauert, bis sich ein Anfangskapital bei einem jährlichen Zinssatz von 5% verdoppelt. Diese Lösung verwendet die Zinseszinsformel und Logarithmen, um eine Verdopplungszeit von etwa 14,21 Jahren zu berechnen. Geeignet für Schüler der Klassen 10-12.

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