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Voy a resolver los ejercicios del documento.

### Ejercicio 1: Ecuaciones de las parábolas con foco y directriz dados

**a) F(-25); x=7**

Para una parábola con foco \( F(h, k) \) y directriz \( x = d \):
- \( h = -25 \)
- La directriz es \( x = 7 \)

La ecuación de una parábola con esta configuración es:
\[ (y - k)^2 = 4p(x - h) \]
donde \( p \) es la distancia del vértice al foco. Aquí, \( p = h - d = -25 - 7 = -32 \).

La ecuación es:
\[ (y - k)^2 = -128(x + 25) \]
Asumiendo \( k = 0 \):
\[ y^2 = -128(x + 25) \]

**b) F(2, 0); y = -1**

Para una parábola con foco \( F(h, k) \) y directriz \( y = c \):
- \( h = 2 \), \( k = 0 \)
- La directriz es \( y = -1 \)

La ecuación de una parábola con esta configuración es:
\[ (x - h)^2 = 4p(y - k) \]
donde \( p \) es la distancia del vértice al foco. Aquí, \( p = k - c = 0 - (-1) = 1 \).

La ecuación es:
\[ (x - 2)^2 = 4(y - 0) \]
Simplificando:
\[ (x - 2)^2 = 4y \]

### Ejercicio 2: Relaciona cada ecuación con su gráfica

**a) \((x-4)^2=8(y-5)\)**
- Vértice en \( (4, 5) \)
- Parábola abre hacia arriba

**b) \((y-1)^2=-12(x-3)\)**
- Vértice en \( (3, 1) \)
- Parábola abre hacia la izquierda

**c) \((x+3)^2=-16(y-1)\)**
- Vértice en \( (-3, 1) \)
- Parábola abre hacia abajo

**d) \((y+2)^2=28(x-3)\)**
- Vértice en \( (3, -2) \)
- Parábola abre hacia la derecha

### Ejercicio 3: Transforma a la forma general

**a) \((x-3)^2=2(y-1)\)**

Expandiendo:
\[ (x - 3)^2 = 2(y - 1) \]
\[ x^2 - 6x + 9 = 2y - 2 \]
\[ x^2 - 6x - 2y + 11 = 0 \]

**b) \((y+1)^2=-3(x-6)\)**

Expandiendo:
\[ (y + 1)^2 = -3(x - 6) \]
\[ y^2 + 2y + 1 = -3x + 18 \]
\[ y^2 + 2y + 3x - 17 = 0 \]

**c) \((x+8)^2 = -(y-2)\)**

Expandiendo:
\[ (x + 8)^2 = -(y - 2) \]
\[ x^2 + 16x + 64 = -y + 2 \]
\[ x^2 + 16x + y + 62 = 0 \]

### Ejercicio 4: Ecuación de la parábola con vértice en (5, 6) y foco en (8, 6)

Para una parábola con vértice \( V(h, k) = (5, 6) \) y foco \( F(h + p, k) = (8, 6) \):
- \( h = 5 \), \( k = 6 \)
- \( p = 8 - 5 = 3 \)

La ecuación es:
\[ (y - k)^2 = 4p(x - h) \]
\[ (y - 6)^2 = 12(x - 5) \]

Expandiendo a la forma general:
\[ (y - 6)^2 = 12(x - 5) \]
\[ y^2 - 12y + 36 = 12x - 60 \]
\[ y^2 - 12y - 12x + 96 = 0 \]

### Ejercicio 5: Obtén la ecuación ordinaria, vértice, foco, directriz y lado recto

**a) \(x^2 - 2x + 3y + 6 = 0\)**

Reescribiendo la ecuación en forma estándar:
\[ x^2 - 2x + 3y = -6 \]
\[ x^2 - 2x + 1 + 3y = -6 + 1 \]
\[ (x - 1)^2 = -3(y + 5/3) \]

- Vértice: \( (1, -5/3) \)
- Foco: \( (1, -5/3 - p) \) donde \( p = 1/3 \)
- Directriz: \( y = -5/3 + 1/3 \)
- Lado recto: \( |4p| = 4 \cdot 1/3 = 4/3 \)

**b) \(y^2 + 7x + 2y = 0\)**

Reescribiendo la ecuación en forma estándar:
\[ y^2 + 2y + 1 + 7x = 0 + 1 \]
\[ (y + 1)^2 = -7x \]

- Vértice: \( (0, -1) \)
- Foco: \( (-1/7, -1) \)
- Directriz: \( x = 1/7 \)
- Lado recto: \( |4p| = 4 \cdot 1/7 = 4/7 \)

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí tienes 5 preguntas para seguir practicando:

1. ¿Cómo se determinan las coordenadas del vértice de una parábola dada su ecuación estándar?
2. ¿Cuál es el método para convertir una ecuación de parábola a su forma estándar?
3. ¿Cómo se encuentra la ecuación de una parábola dada la distancia del vértice al foco?
4. ¿Qué pasos se siguen para determinar la directriz de una parábola?
5. ¿Cómo se relacionan los coeficientes en la forma general de una parábola con sus elementos geométricos?

**Tip:** Para resolver problemas de parábolas, recuerda siempre identificar primero los elementos clave: vértice, foco y directriz.

Aprende a resolver ejercicios de parábolas con foco y directriz dados. Incluye ejemplos detallados como encontrar la ecuación de una parábola con vértice, foco y directriz conocidos. Adecuado para estudiantes de secundaria.

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