cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh căn 2, SA vuông góc với đáy, SA= căn 5. M, N, O là trung điểm của AB, CD, AC. Tính | vector SD- vector BN-vector CM|

Cho hình chóp \( S.ABCD \), trong đó đáy \( ABCD \) là hình vuông cạnh \( \sqrt{2} \), \( SA \) vuông góc với đáy và \( SA = \sqrt{5} \). Các điểm \( M, N, O \) lần lượt là trung điểm của các đoạn \( AB, CD, AC \). Yêu cầu bài toán là tính độ dài của vector \( |\vec{SD} - \vec{BN} - \vec{CM}| \).

### Bước 1: Hệ tọa độ
Chọn hệ trục tọa độ như sau:
- Gốc tọa độ \( O(0, 0, 0) \) trùng với điểm \( A \),
- Điểm \( B \) có tọa độ \( B(\sqrt{2}, 0, 0) \),
- Điểm \( C \) có tọa độ \( C(0, \sqrt{2}, 0) \),
- Điểm \( D \) có tọa độ \( D(\sqrt{2}, \sqrt{2}, 0) \),
- Điểm \( S \) có tọa độ \( S(0, 0, \sqrt{5}) \).

### Bước 2: Tọa độ các điểm M, N, O
- Điểm \( M \) là trung điểm của \( AB \), nên tọa độ của \( M \) là:
  \[
  M \left( \frac{0 + \sqrt{2}}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, 0, 0 \right).
  \]
- Điểm \( N \) là trung điểm của \( CD \), nên tọa độ của \( N \) là:
  \[
  N \left( \frac{0 + \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2}, 0 \right).
  \]
- Điểm \( O \) là trung điểm của \( AC \), nên tọa độ của \( O \) là:
  \[
  O \left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + \sqrt{2}}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( 0, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0 \right).
  \]

### Bước 3: Tọa độ các vector
- Vector \( \vec{SD} \) có tọa độ:
  \[
  \vec{SD} = D - S = (\sqrt{2}, \sqrt{2}, 0) - (0, 0, \sqrt{5}) = (\sqrt{2}, \sqrt{2}, -\sqrt{5}).
  \]
- Vector \( \vec{BN} \) có tọa độ:
  \[
  \vec{BN} = N - B = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2}, 0 \right) - (\sqrt{2}, 0, 0) = \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2}, 0 \right).
  \]
- Vector \( \vec{CM} \) có tọa độ:
  \[
  \vec{CM} = M - C = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, 0, 0 \right) - (0, \sqrt{2}, 0) = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, -\sqrt{2}, 0 \right).
  \]

### Bước 4: Tính tổng các vector
Tính \( \vec{SD} - \vec{BN} - \vec{CM} \):
\[
\vec{SD} - \vec{BN} - \vec{CM} = (\sqrt{2}, \sqrt{2}, -\sqrt{5}) - \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2}, 0 \right) - \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, -\sqrt{2}, 0 \right).
\]
- Thành phần theo \( x \):
  \[
  \sqrt{2} - \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) - \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}.
  \]
- Thành phần theo \( y \):
  \[
  \sqrt{2} - \sqrt{2} - (-\sqrt{2}) = \sqrt{2}.
  \]
- Thành phần theo \( z \):
  \[
  -\sqrt{5} - 0 - 0 = -\sqrt{5}.
  \]
Vậy \( \vec{SD} - \vec{BN} - \vec{CM} = (\sqrt{2}, \sqrt{2}, -\sqrt{5}) \).

### Bước 5: Độ dài của vector
Độ dài của \( \vec{SD} - \vec{BN} - \vec{CM} \) là:
\[
|\vec{SD} - \vec{BN} - \vec{CM}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{5})^2} = \sqrt{2 + 2 + 5} = \sqrt{9} = 3.
\]

Vậy, độ dài của vector cần tìm là \( 3 \).

---

Bạn có muốn tôi giải thích chi tiết thêm bước nào không?

Dưới đây là 5 câu hỏi liên quan:

1. Làm thế nào để xác định tọa độ của các điểm trong không gian 3D?
2. Tại sao cần tính các vector theo từng thành phần \( x, y, z \)?
3. Phép trừ vector hoạt động như thế nào trong không gian tọa độ?
4. Công thức nào dùng để tính độ dài của một vector?
5. Cách nhận biết một hình vuông trong không gian 3D từ các tọa độ?

**Mẹo:** Trong không gian 3D, các phép tính với vector như cộng, trừ và tính độ dài đều có thể giải quyết bằng cách phân tích từng thành phần tọa độ.

cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh căn 2, SA vuông góc với đáy, SA= căn 5. M, N, O là trung điểm của AB, CD, AC. Tính |vector SD - vector BN - vector CM|

Giải bài toán hình học không gian về hình chóp S.ABCD với đáy là hình vuông cạnh căn 2, tính độ dài vector |SD - BN - CM|. Bài toán sử dụng các khái niệm vector, tọa độ và định lý Pythagoras. Phù hợp với học sinh lớp 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation