Math Problem Statement

解答一下这道高数题

Solution

题目要求过点 (3,0,1)(3, 0, -1) 且与平面 3x7y+5z12=03x - 7y + 5z - 12 = 0 平行的平面方程。

要找到这样的平面方程,我们需要知道平面平行的条件。两个平面平行,如果它们的法向量相同或成比例。给定平面的法向量是 n=(3,7,5)\mathbf{n} = (3, -7, 5)

平面的一般方程可以写成: 3x7y+5z+D=03x - 7y + 5z + D = 0

我们需要确定常数 DD 使平面通过点 (3,0,1)(3, 0, -1)

将点 (3,0,1)(3, 0, -1) 代入平面方程: 3(3)7(0)+5(1)+D=03(3) - 7(0) + 5(-1) + D = 0

简化得到: 95+D=09 - 5 + D = 0 4+D=04 + D = 0 D=4D = -4

所以,过点 (3,0,1)(3, 0, -1) 且与平面 3x7y+5z12=03x - 7y + 5z - 12 = 0 平行的平面方程为: 3x7y+5z4=03x - 7y + 5z - 4 = 0

请问您需要详细的推导过程吗?还有其他问题需要解答吗?

接下来是一些您可能会感兴趣的问题:

  1. 如何求两个平面是否平行或垂直?
  2. 如何求两条直线的交点?
  3. 如何求空间中点到平面的距离?
  4. 如何求空间中两点间的距离?
  5. 如何求三维空间中直线与平面的交点?

小提示:在处理几何问题时,掌握法向量和平面的基本方程形式非常重要。

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