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题目要求过点 \( (3, 0, -1) \) 且与平面 \( 3x - 7y + 5z - 12 = 0 \) 平行的平面方程。

要找到这样的平面方程，我们需要知道平面平行的条件。两个平面平行，如果它们的法向量相同或成比例。给定平面的法向量是 \( \mathbf{n} = (3, -7, 5) \)。

平面的一般方程可以写成：
\[ 3x - 7y + 5z + D = 0 \]

我们需要确定常数 \( D \) 使平面通过点 \( (3, 0, -1) \)。

将点 \( (3, 0, -1) \) 代入平面方程：
\[ 3(3) - 7(0) + 5(-1) + D = 0 \]

简化得到：
\[ 9 - 5 + D = 0 \]
\[ 4 + D = 0 \]
\[ D = -4 \]

所以，过点 \( (3, 0, -1) \) 且与平面 \( 3x - 7y + 5z - 12 = 0 \) 平行的平面方程为：
\[ 3x - 7y + 5z - 4 = 0 \]

请问您需要详细的推导过程吗？还有其他问题需要解答吗？

接下来是一些您可能会感兴趣的问题：

1. 如何求两个平面是否平行或垂直？
2. 如何求两条直线的交点？
3. 如何求空间中点到平面的距离？
4. 如何求空间中两点间的距离？
5. 如何求三维空间中直线与平面的交点？

小提示：在处理几何问题时，掌握法向量和平面的基本方程形式非常重要。

Learn how to find the equation of a plane that is parallel to the plane 3x - 7y + 5z - 12 = 0 and passes through the point (3, 0, -1). This problem involves vector operations and plane equations in 3D space, suitable for college-level students.

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