好的，我们来求解这些函数的全微分。

(1) $z = xy + \frac{x}{y}$

首先计算 $z$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数： $\frac{\partial z}{\partial x} = y + \frac{1}{y}$ $\frac{\partial z}{\partial y} = x - \frac{x}{y^2}$

全微分为： $dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$ $dz = \left( y + \frac{1}{y} \right) dx + \left( x - \frac{x}{y^2} \right) dy$

(2) $z = e^{\frac{y}{x}}$

计算 $z$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数： $\frac{\partial z}{\partial x} = e^{\frac{y}{x}} \cdot \left( -\frac{y}{x^2} \right) = -\frac{y}{x^2} e^{\frac{y}{x}}$ $\frac{\partial z}{\partial y} = e^{\frac{y}{x}} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x} e^{\frac{y}{x}}$

全微分为： $dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$ $dz = \left( -\frac{y}{x^2} e^{\frac{y}{x}} \right) dx + \left( \frac{1}{x} e^{\frac{y}{x}} \right) dy$

(3) $z = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

计算 $z$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数： $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y \cdot \left( -\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \right)}{x^2 + y^2} = -\frac{xy}{(x^2 + y^2)^{3/2}}$ $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\sqrt{x^2 + y^2} - y \cdot \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}}{x^2 + y^2} = \frac{x^2}{(x^2 + y^2)^{3/2}}$

全微分为： $dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$ $dz = -\frac{xy}{(x^2 + y^2)^{3/2}} dx + \frac{x^2}{(x^2 + y^2)^{3/2}} dy$

请问您需要详细的推导过程吗？还有其他问题需要解答吗？

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小提示：在求解全微分时，熟练掌握偏导数的计算方法非常关键。