 Tìm tất cả các hàm số f : R → R thoả mãn f là hàm số chẵn (Tức f(x) =
 f(−x)∀x ∈ R) và thoả mãn
 f(xy) −f(x)f(y) = 2018(f(x +y)−2xy −1)∀x,y ∈ R.

Để tìm tất cả các hàm số \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) thỏa mãn:

1. \( f \) là hàm số chẵn, tức là \( f(x) = f(-x) \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \).
2. Phương trình hàm: 
\[
f(xy) - f(x)f(y) = 2018(f(x + y) - 2xy - 1) \quad \text{với mọi } x, y \in \mathbb{R}.
\]

Ta thực hiện các bước sau để giải quyết:

### Bước 1: Thử \( x = 0 \) và \( y = 0 \)
Đặt \( x = 0 \) và \( y = 0 \) vào phương trình:

\[
f(0 \cdot 0) - f(0)f(0) = 2018(f(0 + 0) - 2(0)(0) - 1).
\]

Điều này cho ta:

\[
f(0) - f(0)^2 = 2018(f(0) - 1).
\]

Giả sử \( f(0) = c \), ta có:

\[
c - c^2 = 2018(c - 1).
\]

Đưa về phương trình bậc hai:

\[
c^2 - (2019)c + 2018 = 0.
\]

Nghiệm của phương trình là:

\[
c = 1 \quad \text{hoặc} \quad c = 2018.
\]

Do đó, \( f(0) \) có thể là 1 hoặc 2018.

### Bước 2: Phân tích trường hợp \( f(0) = 1 \)

Đặt \( y = 0 \) vào phương trình chính:

\[
f(0) - f(x)f(0) = 2018(f(x) - 1).
\]

Thay \( f(0) = 1 \) vào:

\[
1 - f(x) = 2018(f(x) - 1).
\]

Giải phương trình:

\[
2019f(x) = 2019.
\]

Suy ra \( f(x) = 1 \) với mọi \( x \).

### Bước 3: Phân tích trường hợp \( f(0) = 2018 \)

Thay \( f(0) = 2018 \) vào phương trình \( f(0) - f(x)f(0) = 2018(f(x) - 1) \):

\[
2018 - 2018f(x) = 2018f(x) - 2018.
\]

Suy ra:

\[
2 \times 2018f(x) = 2 \times 2018.
\]

Nên \( f(x) = 1 \) với mọi \( x \).

### Kết luận:
Trong cả hai trường hợp, ta đều có kết quả duy nhất là \( f(x) = 1 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \).

Vậy hàm số duy nhất thỏa mãn các điều kiện bài toán là \( f(x) = 1 \).

---

Bạn có muốn thêm chi tiết về cách giải hay có bất kỳ câu hỏi nào không?

**Câu hỏi mở rộng:**
1. Các phương trình hàm cơ bản là gì?
2. Làm sao để nhận biết một hàm số là chẵn hay lẻ?
3. Điều kiện gì sẽ xảy ra nếu bỏ giả thiết hàm số chẵn?
4. Các dạng phương trình hàm phổ biến khác?
5. Hàm số đồng nhất có những đặc điểm nào?

**Mẹo:** Khi giải phương trình hàm, thường hữu ích khi thử nghiệm với các giá trị đặc biệt như \( x = 0 \) hoặc \( y = 0 \) để đơn giản hóa phương trình.

Explore how to solve the functional equation f(xy) - f(x)f(y) = 2018(f(x + y) - 2xy - 1). Understand the concept of even functions and their implications in solving this problem. Suitable for advanced mathematics enthusiasts.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation