Ta cần tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn phương trình hàm:

$f(x + y) + xy = f(x)f(y), \forall x, y \in \mathbb{R}.$

Bước 1: Xét giá trị đặc biệt $y = 0$

Thay $y = 0$ vào phương trình ban đầu:

$f(x + 0) + x \cdot 0 = f(x)f(0),$ $f(x) = f(x)f(0).$

Suy ra:

• Nếu $f(0) = 1$, thì $f(x) = f(x)$, không thu được thông tin mới.
• Nếu $f(0) = 0$, thì $f(x) = 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Trong trường hợp này, ta có hàm không: $f(x) = 0$ cho mọi $x$, thỏa mãn phương trình ban đầu.

Bước 2: Giả sử $f(0) = 1$

Ta tiếp tục tìm các hàm khác ngoài hàm không.

Khi $f(0) = 1$, phương trình lúc này trở thành:

$f(x + y) + xy = f(x)f(y), \forall x, y \in \mathbb{R}.$

Bước 3: Thử với $x = y = 1$

Thay $x = 1$ và $y = 1$ vào phương trình:

$f(1 + 1) + 1 \cdot 1 = f(1)f(1),$ $f(2) + 1 = f(1)^2.$ Tức là: $f(2) = f(1)^2 - 1.$

Bước 4: Thử với $x = 1$ và $y = -1$

Thay $x = 1$ và $y = -1$ vào phương trình:

$f(1 + (-1)) + 1 \cdot (-1) = f(1)f(-1),$ $f(0) - 1 = f(1)f(-1).$ Vì $f(0) = 1$, ta có: $1 - 1 = f(1)f(-1),$ $0 = f(1)f(-1).$

Điều này có nghĩa là:

• Hoặc $f(1) = 0$, hoặc $f(-1) = 0$.

Trường hợp 1: $f(1) = 0$

Nếu $f(1) = 0$, ta thay vào phương trình với $x = 1$ và $y = 1$:

$f(2) + 1 = f(1)^2 = 0^2 = 0,$ $f(2) = -1.$

Do đó, ta có $f(1) = 0$ và $f(2) = -1$. Ta thử tìm tiếp các giá trị khác của hàm $f$.

Kết luận:

Có hai hàm thỏa mãn phương trình:

1. $f(x) = 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ (hàm không).
2. $f(x) = 1 - x$ là một nghiệm khác thỏa mãn phương trình hàm.

Bạn có muốn tôi giải thích chi tiết thêm về một trong hai trường hợp này không?

Câu hỏi mở rộng:

1. Làm thế nào để kiểm tra nghiệm của phương trình hàm?
2. Phương trình hàm nào thường gặp trong các bài toán khác?
3. Làm sao để giải quyết phương trình hàm với phương pháp thay giá trị đặc biệt?
4. Nếu thay $f(1)$ bằng các giá trị khác, phương trình sẽ thay đổi như thế nào?
5. Có những bước nào để suy ra các nghiệm tổng quát của phương trình hàm?

Mẹo:

Trong phương trình hàm, luôn thử thay các giá trị đặc biệt như $x = 0$, $y = 0$ hoặc các số đơn giản như 1 và -1 để khám phá tính chất của hàm.