Tìm hàm f : R → R thoả mãn
(x − y)f(x + y) − (x + y)f(x − y) = 4xy(x
2 - y
2
)∀x, y ∈ R.

Ta cần tìm hàm số \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) thoả mãn phương trình:

\[
(x - y)f(x + y) - (x + y)f(x - y) = 4xy(x^2 - y^2) \quad \forall x, y \in \mathbb{R}.
\]

### Bước 1: Thử thay các giá trị cụ thể cho \(x\) và \(y\)
- Thay \( x = y = 0 \) vào phương trình, ta được:
  \[
  0 \cdot f(0) - 0 \cdot f(0) = 0,
  \]
  điều này đúng với mọi giá trị của \( f(0) \), do đó phương trình không cho ta thông tin gì về \( f(0) \).

- Thay \( y = 0 \), ta có:
  \[
  x f(x) - x f(x) = 0,
  \]
  phương trình này đúng với mọi \( x \), và không cho thêm thông tin gì.

### Bước 2: Đặt các giá trị khác nhau của \( y \) và \( x \)
- Thay \( y = -x \) vào phương trình:
  \[
  (x + x)f(0) - (x - x)f(2x) = 4x(-x)(x^2 - (-x)^2),
  \]
  \[
  2x f(0) = 0 \Rightarrow f(0) = 0.
  \]

- Thay \( y = x \) vào phương trình:
  \[
  0 \cdot f(2x) - 2x f(0) = 4x^2(0),
  \]
  \[
  0 = 0,
  \]
  phương trình này đúng với mọi \( x \), không đưa ra thông tin gì thêm.

### Bước 3: Giả định hàm số dạng \( f(x) = ax^3 \)
Ta thử giả định \( f(x) = ax^3 \). Khi đó:

- Ta tính toán hai vế của phương trình đã cho:
  \[
  (x - y)f(x + y) = (x - y) a(x + y)^3,
  \]
  \[
  (x + y)f(x - y) = (x + y) a(x - y)^3,
  \]
  \[
  (x - y) a(x + y)^3 - (x + y) a(x - y)^3.
  \]

- Ta mở rộng:
  \[
  a[(x - y)(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) - (x + y)(x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3)].
  \]

- Tiếp tục tính toán để so sánh với vế phải của phương trình ban đầu. Sau đó ta rút ra được \( a = 1 \).

### Kết luận:
Hàm số thoả mãn điều kiện bài toán là:
\[
f(x) = x^3.
\]

### Bạn có muốn biết thêm chi tiết về cách giải không?

#### Các câu hỏi liên quan:
1. Tại sao lại thử giả định \( f(x) \) là hàm bậc ba?
2. Cách tìm nghiệm tổng quát cho phương trình hàm này là gì?
3. Có các phương pháp khác để tìm nghiệm của phương trình hàm không?
4. Có trường hợp nào phương trình hàm không có nghiệm không?
5. Điều kiện nào đảm bảo \( f(x) = x^3 \) là nghiệm duy nhất?

#### Mẹo:
Khi giải các phương trình hàm, việc kiểm tra các giá trị đặc biệt của biến số thường giúp tìm ra hình dạng của hàm số một cách nhanh chóng.

Explore the solution to the functional equation (x - y)f(x + y) - (x + y)f(x - y) = 4xy(x^2 - y^2) with a step-by-step approach. Understand how to derive the function f(x) = x^3 as the solution. Suitable for advanced mathematics enthusiasts and students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation