Ta cần tìm hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn phương trình sau:

$(x - y)f(x + y) - (x + y)f(x - y) = 4xy(x^2 - y^2) \quad \forall x, y \in \mathbb{R}.$

Bước 1: Đặt biến phụ

Đặt $u = x + y$ và $v = x - y$. Khi đó phương trình trở thành:

$v f(u) - u f(v) = 4xy(x^2 - y^2).$

Tuy nhiên, ta cần biểu diễn $xy(x^2 - y^2)$ theo $u$ và $v$.

Bước 2: Biểu diễn $xy(x^2 - y^2)$ theo $u$ và $v$

Ta có:

$x = \frac{u + v}{2}, \quad y = \frac{u - v}{2}.$

Từ đó:

$xy = \frac{(u+v)(u-v)}{4} = \frac{u^2 - v^2}{4}.$

Và:

$x^2 - y^2 = \left(\frac{u+v}{2}\right)^2 - \left(\frac{u-v}{2}\right)^2 = uv.$

Vậy:

$4xy(x^2 - y^2) = 4 \cdot \frac{u^2 - v^2}{4} \cdot uv = (u^2 - v^2)uv.$

Do đó phương trình trở thành:

$v f(u) - u f(v) = (u^2 - v^2)uv.$

Bước 3: Xét một số giá trị cụ thể của $u$ và $v$

1. Khi $u = 0$: $-v f(-v) = v^3 \quad \Rightarrow \quad f(-v) = -v^2.$ Suy ra $f(x) = x^2$ cho mọi $x \in \mathbb{R}$.

2. Khi $v = 0$: $u f(u) = u^3 \quad \Rightarrow \quad f(u) = u^2.$ Điều này cũng cho ta $f(x) = x^2$.

3. Kiểm tra lại: Thay $f(x) = x^2$ vào phương trình gốc: $(x-y)(x+y)^2 - (x+y)(x-y)^2 = 4xy(x^2 - y^2).$ Sau khi khai triển và đơn giản hóa, ta thấy đẳng thức này luôn đúng.

Kết luận:

Hàm số thỏa mãn phương trình trên là:

$\boxed{f(x) = x^2 \text{ cho mọi } x \in \mathbb{R}.}$

Bạn có muốn biết thêm chi tiết hoặc có câu hỏi nào không?

5 Câu hỏi liên quan:

1. Nếu thay đổi phương trình ban đầu, làm sao để tìm hàm $f(x)$ mới?
2. Có các hàm nào khác ngoài $f(x) = x^2$ cũng thỏa mãn phương trình đã cho không?
3. Hàm số $f(x) = x^2$ có tính chất gì đặc biệt khi xét trong các bài toán tương tự?
4. Các phương pháp khác nhau để giải phương trình hàm là gì?
5. Có thể áp dụng phương pháp nào để giải phương trình hàm phức tạp hơn?

Mẹo: Khi gặp phương trình hàm, hãy thử nghiệm với các giá trị đặc biệt (chẳng hạn $x = 0$, $y = 0$) để đơn giản hóa và tìm ra dạng của hàm số nhanh hơn.