Resuelve el sistema de ecuaciones lineales

- x + 4y + 2z - w + 5t = - 4

- 5x + 7y - z - w – 4t = - 9

x + y - z - w – 3t = 7

Para resolver el sistema de ecuaciones lineales, utilizaremos el método de eliminación o sustitución. El sistema de ecuaciones es:

\[
\begin{aligned}
1. & \quad -x + 4y + 2z - w + 5t = -4 \\
2. & \quad -5x + 7y - z - w - 4t = -9 \\
3. & \quad x + y - z - w - 3t = 7
\end{aligned}
\]

### Paso 1: Escribir las ecuaciones en un formato estándar

Escribimos las ecuaciones de manera estándar:

\[
\begin{aligned}
1. & \quad -x + 4y + 2z - w + 5t = -4 \\
2. & \quad -5x + 7y - z - w - 4t = -9 \\
3. & \quad x + y - z - w - 3t = 7
\end{aligned}
\]

### Paso 2: Resolver el sistema usando eliminación o sustitución

Vamos a resolverlo paso a paso:

1. Sumar la primera y la tercera ecuación para eliminar \( x \):

\[
(-x + 4y + 2z - w + 5t) + (x + y - z - w - 3t) = -4 + 7
\]

Esto simplifica a:

\[
5y + z - 2w + 2t = 3 \quad \text{(Ecuación 4)}
\]

2. Multiplicar la tercera ecuación por 5 y sumarla con la segunda para eliminar \( x \):

\[
-5(x + y - z - w - 3t) + (-5x + 7y - z - w - 4t) = -5(7) + (-9)
\]

Esto simplifica a:

\[
2y - 6z + 4w + 11t = -44 \quad \text{(Ecuación 5)}
\]

### Paso 3: Resolver las ecuaciones simplificadas

Ahora tenemos dos ecuaciones simplificadas:

\[
\begin{aligned}
4. & \quad 5y + z - 2w + 2t = 3 \\
5. & \quad 2y - 6z + 4w + 11t = -44
\end{aligned}
\]

Podemos resolver este sistema para encontrar \( y \), \( z \), \( w \) y \( t \), y luego sustituir los valores en una de las ecuaciones originales para hallar \( x \).

### Paso 4: Resolución final

Resolveré este sistema para encontrar los valores de \( y \), \( z \), \( w \), \( t \), y luego de \( x \).La solución del sistema de ecuaciones lineales es:

\[
\begin{aligned}
x &= \frac{3w}{7} + \frac{26}{7}, \\
y &= \frac{t}{6} + \frac{3w}{7} + \frac{22}{21}, \\
z &= -\frac{17t}{6} - \frac{w}{7} - \frac{47}{21}.
\end{aligned}
\]

Esto significa que las soluciones para \(x\), \(y\) y \(z\) dependen de los valores de \(w\) y \(t\), que pueden tomar cualquier valor.

¿Te gustaría ver más detalles o tienes alguna pregunta?

---

**Preguntas Relacionadas:**
1. ¿Cómo puedo encontrar soluciones específicas para \(w\) y \(t\)?
2. ¿Qué métodos alternativos existen para resolver sistemas de ecuaciones lineales?
3. ¿Cómo afecta la elección de \(w\) y \(t\) a las soluciones de \(x\), \(y\) y \(z\)?
4. ¿Qué ocurre si añado una cuarta ecuación al sistema?
5. ¿Cómo puedo interpretar geométricamente la solución de este sistema?

**Tip:** Cuando las soluciones dependen de parámetros, significa que el sistema tiene infinitas soluciones, que forman una familia de soluciones.

Aprende cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando métodos de eliminación y sustitución. Este problema cubre conceptos clave como ecuaciones lineales, métodos de solución y aplicaciones prácticas. Adecuado para estudiantes de secundaria y bachillerato.

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